Para que $a$ ¿la ecuación de $f(z) = f(az) $ tiene una solución no constante $f$

Question

Para que $a \in \mathbb{C} -\ \{0,1\}$ ¿la ecuación de $f(z) = f(az) $ tiene una solución no constante $f$ $f$ analítica en un barrio de $0$.

Mi intento:

En primer lugar, podemos ver que cualquier solución debe satisfacer:

$f(z)=f(a^kz)$ todos los $k \in \mathbb{N} $.

Si $|a|<1$:

La serie $z_{k} = a^k$ converge a 0, lo que es un punto de acumulación, y $f(z_i)=f(z_j)$ todos los $i, j\in \mathbb{N} $. Por lo tanto $f$ debe ser constante.

Si $|a|=1$:

Para todos $a \neq 1$ , $f$ debe ser constante en cualquier círculo alrededor de $0$, así que de nuevo $f$ debe ser constante.

Mi quesions son:

Estoy en lo cierto con mi consclusions?

También, estoy atascado en el caso de que $|a|>1$. Alguna idea?

Gracias

Answer 1

Muchas gracias a todos. La integridad, la voy a escribir aquí una sctach de la soultion:

Para $|a|=1$ podemos tomar $f(z)=z^k$$k = 2\pi/Arg(a) $.

Para $|a|>1$, se puede observar que en realidad $f(z)=f(a^kz)$ todos los $k \in \mathbb{Z}$, por lo que la solución es similar para el caso de $|a|<1$.

Answer 2

Se ha tratado el caso de $0<|a|<1$. El caso de $|a|>1$ se reduce al caso de $|a|<1$ porque $f(z)=f(az)$ todos los $z$ implica $f(a^{-1}z)=f(z)$ todos los $z$. El caso de $|a|=1, a\ne1$ se divide en dos subcases:

• $a^k=1$ algunos $k\in\mathbb N$. A continuación, $f(z)=z^k$ es un no constante de la función que satisface la ecuación
• de lo contrario, la secuencia de $a^k$ es denso en $S^1$, lo que implica que $f$ es constante en $S^1$ y finalmente constante en $\mathbb C$

(Por supuesto, los casos excepcionales $a=0, a=1$ directamente implican $f$ constante y $f$ arbitrarios, respectivamente).