Me encontré con la siguiente integral:
$$\int_0^{\infty} e^{-x^2} \frac{\sin(a x)}{\sin(b x)} dx$$
mientras tratando de calcular la transformada inversa de Laplace
$$ L_p^{-1} \left[ \frac{\sinh(\alpha\sqrt{p})}{\sinh(\beta\sqrt{p})} \frac{e^{-\gamma\sqrt{p}}}{\sqrt{p}} \right], |\alpha|<\beta \gamma>0$$
el uso de la Bromwich enfoque integral. El contorno que utiliza es el siguiente:
el mencionado integral surge mientras se hace la integración largo de los segmentos de $L_1^+,L_2^+,\cdots$$L_1^-,L_2^-,\cdots$.
He buscado esta integral en Prudnikov et. al., Integrales y Series, v. 1, pero no encontró nada. También he tratado de evaluar la integral usando el teorema de los residuos, pero no podía decidir qué contorno de uso.
Cualquier ayuda es muy apreciada!
P. S. La ILT puede ser calculado por darse cuenta de que $$ F[p] = \frac{\sinh (\sqrt{p} \alpha)}{\sinh (\sqrt{p} \beta)} \frac{e^{-\gamma\sqrt{p}}}{\sqrt{p}} = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{e^{-(-\alpha+\beta+\gamma+2n\beta)\sqrt{p}}}{\sqrt{p}} -\frac{e^{-(\alpha+\beta+\gamma+2n\beta)\sqrt{p}}}{\sqrt{p}} \right)$$ el uso de $$L_p^{-1} \left[ \frac{e^{-\alpha\sqrt{p}}}{\sqrt{p}} \right] = \frac{1}{\sqrt{\pi t}} e^{-\frac{\alpha^2}{4t}}$$ tenemos $$\begin{align*} f(t) &= L_p^{-1}[F(p)] \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{ e^{-(-\alpha+\beta+\gamma+2n\beta)^2/4t} }{\sqrt{\pi t}} - \frac{ e^{-(-\alpha+\beta+\gamma+2n\beta)^2/4t} }{\sqrt{\pi t}} \right). \end{align*}$$ Aquí estoy más interesado en el cálculo de los anteriores ILT uso de la Bromwich enfoque integral.