¿Cómo evaluar integral $\int_0^{\infty} e^{-x^2} \frac{\sin(a x)}{\sin(b x)} dx$?

Question

Me encontré con la siguiente integral:

$$\int_0^{\infty} e^{-x^2} \frac{\sin(a x)}{\sin(b x)} dx$$

mientras tratando de calcular la transformada inversa de Laplace

$$L_p^{-1} \left[ \frac{\sinh(\alpha\sqrt{p})}{\sinh(\beta\sqrt{p})} \frac{e^{-\gamma\sqrt{p}}}{\sqrt{p}} \right], |\alpha|<\beta \gamma>0$$

el uso de la Bromwich enfoque integral. El contorno que utiliza es el siguiente:

el mencionado integral surge mientras se hace la integración largo de los segmentos de $L_1^+,L_2^+,\cdots$$L_1^-,L_2^-,\cdots$.

He buscado esta integral en Prudnikov et. al., Integrales y Series, v. 1, pero no encontró nada. También he tratado de evaluar la integral usando el teorema de los residuos, pero no podía decidir qué contorno de uso.

Cualquier ayuda es muy apreciada!

P. S. La ILT puede ser calculado por darse cuenta de que $$F[p] = \frac{\sinh (\sqrt{p} \alpha)}{\sinh (\sqrt{p} \beta)} \frac{e^{-\gamma\sqrt{p}}}{\sqrt{p}} = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{e^{-(-\alpha+\beta+\gamma+2n\beta)\sqrt{p}}}{\sqrt{p}} -\frac{e^{-(\alpha+\beta+\gamma+2n\beta)\sqrt{p}}}{\sqrt{p}} \right)$$ el uso de $$L_p^{-1} \left[ \frac{e^{-\alpha\sqrt{p}}}{\sqrt{p}} \right] = \frac{1}{\sqrt{\pi t}} e^{-\frac{\alpha^2}{4t}}$$ tenemos $$\begin{align*} f(t) &= L_p^{-1}[F(p)] \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{ e^{-(-\alpha+\beta+\gamma+2n\beta)^2/4t} }{\sqrt{\pi t}} - \frac{ e^{-(-\alpha+\beta+\gamma+2n\beta)^2/4t} }{\sqrt{\pi t}} \right). \end{align*}$$ Aquí estoy más interesado en el cálculo de los anteriores ILT uso de la Bromwich enfoque integral.

Answer 1

El real integral llego después de tomar la ILT es

$$PV \int_0^{\infty} dx \, \frac{\sin{\alpha x}}{\sin{\beta x}} \cos{\gamma x} \, e^{-t x^2}$$

donde $PV$ denota el valor principal de Cauchy de la integral. Tenga en cuenta que debemos tomar esta $PV$ de esta integral como hay polos en el integrando, sin el cual, la integral es infinito. Supongo que en general se habla de esta integral es equivalente a la suma de dos de las integrales de especificar la excepción de que $\alpha$ $\beta$ tomar diferentes significados. No sé cómo evaluar esta integral directamente.

Tenga en cuenta que, en la toma de la ILT, debe utilizar una versión modificada Bromwich contorno, que evita la rama de corte a lo largo del eje real negativo. Lamentablemente, como usted tiene polos en el eje, usted necesita proporcionar semicircular desvíos en cada cruce por encima y por debajo de la rama de corte en cada polo. Básicamente, usted reemplace $-1=e^{i \pi}$ arriba de la rama de corte y $-1=e^{-i \pi}$ por debajo. De esa manera, usted puede terminar para arriba con, como la ILT, una expresión como la siguiente:

$$\begin{align}\frac1{i 2 \pi} \int_{c-i \infty}^{c+i \infty} dp \, \frac{\sinh{\alpha \sqrt{p}}}{\sinh{\beta \sqrt{p}}} \frac{e^{-\gamma \sqrt{p}}}{\sqrt{p}} &= \frac1{\pi} PV \int_0^{\infty} dx \, \frac{\sin{\alpha x}}{\sin{\beta x}} \cos{\gamma x} \, e^{-t x^2} \\&+ \frac1{\beta} \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \sin{\left (\frac{\alpha}{\beta} n \pi \right )} \sin{\left (\frac{\gamma}{\beta} n \pi \right )} e^{-n^2 \pi^2 t/\beta^2}\end{align}$$

De nuevo, el que tengo no saben cómo evaluar la integral o suma en forma cerrada en general.

Answer 2

Dado $$L_p^{-1} \left[ \frac{\sinh(\alpha\sqrt{p})}{\sinh(\beta\sqrt{p})} \frac{e^{-\gamma\sqrt{p}}}{\sqrt{p}} \right], |\alpha|<\beta \gamma>0$$ esto equivale a encontrar los polos que participan de la función. En este caso lo que se necesita para ser encontrados son los polos de $\sqrt{p}=0$$\sinh(\beta \sqrt{p})=0$. En ambos casos $p=0$ es un poste y mediante el uso de $\sinh(x) = - i \, \sin(i x)$ $\sin(i \beta \sqrt{p}) = 0$ conduce a $p_{n} = - (n^2 \, \pi^2)/\beta^2$$n \geq 0$.

Para el caso de $p_{n}$ se observa que: $$\begin{align} \lim_{p \to p_{n}} \left\{ (p - p_{n}) \, \frac{\sinh(\alpha\sqrt{p})}{\sinh(\beta\sqrt{p})} \frac{e^{-\gamma\sqrt{p}}}{\sqrt{p}} \, e^{p \, t} \right\} &= \frac{\sinh(\alpha \sqrt{p_{n}})}{\sqrt{p_{n}}} \, e^{p_{n} \, t - \gamma \, \sqrt{p_{n}}} \, \lim_{p \to p_{n}} \left\{ \frac{p - p_{n}}{\sinh(\beta \sqrt{p})} \right\} \\ &= \frac{\sinh(\alpha \sqrt{p_{n}})}{\sqrt{p_{n}}} \, e^{p_{n} \, t - \gamma \, \sqrt{p_{n}}} \, \lim_{p \to p_{n}} \left\{ \frac{1}{\cosh(\beta \sqrt{p})} \right\} \\ &= \frac{2 \, \sinh(\alpha \sqrt{p_{n}})}{\beta \, \cosh(\beta \sqrt{p_{n}})} \, e^{p_{n} \, t - \gamma \, \sqrt{p_{n}}} \\ &= \frac{2 i}{\beta} \, (-1)^{n} \, \sin\left(\frac{n \pi \, \alpha}{\beta}\right) \, e^{- \frac{n^2 \pi^2 \, t}{\beta^2} - i \, \frac{\gamma \, n \pi}{\beta}}. \end{align}$$ Un derivado de límite y se llevará a cabo durante el polo de cero, ya que es de orden dos. Una vez que el valor se encuentra a continuación, se sigue que $$L^{-1}\{f(s)\} = 2\pi i \sum \{Res\}$$