Común raíces complejas

Question

Si las ecuaciones $ax^2+bx+c=0$ $x^3+3x^2+3x+2=0$ tiene dos raíces comunes, a continuación, mostrar que $a=b=c$.

Mis intentos:

Observando $-2$ es una raíz de $x^3+3x^2+3x+2=0\implies x^3+3x^2+3x+2=(x+2)(x^2+x+1)=0$

Por lo tanto $ax^2+bx+c=0$ puede tener raíces complejas en común, viniendo de $(x^2+x+1)=0$

Tanto las raíces de $(x^2+x+1)=0$ $ax^2+bx+c=0$ son comunes debe implicar $a=b=c$ no sólo esto, sino $a=b=c=1$.

Es esta la solución correcta?

Answer 1

Tenemos que $$ \eqalign{ & x^{\,3} + 3x^{\,2} + 3x + 2 = 0\quad \Rightarrow \quad x^{\,3} + 3x^{\,2} + 3x + 1 = - 1\quad \Rightarrow \cr & \Rightarrow \quad \left( {x + 1} \right)^{\,3} = - 1\quad \Rightarrow \quad \left( {x + 1} \right) = e^{\,i\;\,\left( {1 + 2k} \right)\pi /3} = e^{\, \pm \,i\;\,\pi /3} ,e^{\,i\;\pi } = {1 \over 2} \pm i{{\sqrt 3 } \over 2},\;\; - 1 \cr} $$ y $$ \eqalign{ & 0 = ax^2 + bx + c\quad \Rightarrow \quad\left( {x + 1} \right)^2 + \left( {b - 2a} \right)\left( {x + 1} \right) + \left( {a + c - b} \right) = 0\quad \Rightarrow \cr & \Rightarrow \quad \left( {x + 1} \right) = {{ - \left( {b - 2a} \right) \pm \sqrt {b^2 - 4ac} } \over {2a}} \cr} $$

Comparando los dos resultados, la condición de tener dos idénticas raíces impone que será $$ \left\{ \matriz{ {{2a - b} \over {2a}} = {1 \over 2} \hfill \cr {{\sqrt {4ac - b^2 } } \over {2a}} = {{\sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr} \right.\;\quad \Rightarrow \quad \left\{ \matriz{ b = a \hfill \cr c = a \hfill \cr} \right. $$ ya sea en el real y en el campo complejo.

Answer 2

Sí, acabo de comprobar su cálculo y todo está correcto. Su polinomio de grado $3$ define como $x^3+3x^2+3x+2=0$ tiene una raíz real $x_{1}=-2$ y dos raíces complejas $x_{2,3}=-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i$, por lo que puede ser escrito como $P(x)=(x+2)(x-(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i))(x-(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i))$. Entonces, recuerde lo siguiente: "una propiedad de las ecuaciones de segundo grado con coeficientes reales que tiene raíces complejas es la que se conjugan para cada uno de los otros". Así que, sabiendo esto, no hay forma de que se tienen en común con el otro polinomio de una raíz real y otros complejos (es la única opción que tenemos disponible), entonces: $a=b=c=1$.

Answer 3

Si $a$, $b$, y $c$ no son reales, entonces la pregunta que como se dijo es falso. Las raíces de $x^3 + 3x^2 + 3x + 2$$-2$$-\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2} i$; y el polinomio $x^2 + (\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)x + (1 + \sqrt{3} i) = (x + 2)(x + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)$ de las acciones de dos raíces con $x^3 + 3x^2 + 3x + 2$ pero no tiene $a = b = c$.

Creo que la declaración más fuerte que se puede hacer es que si $a, b, c \in \mathbb{C}$ tiene el mismo argumento, a continuación, la declaración debe ser cierto. Si este es el caso, entonces tenemos $a = Ae^{i\theta}, b = B e^{i\theta}, c = e^{i \theta}$ para el mismo $\theta$ en cada caso y $A, B, C \in \mathbb{R}$. En tal caso, el polinomio $a x^2 + bx + c = e^{i \theta}(A x^2 + Bx + C)$ tienen las mismas raíces como $Ax^2 + Bx + C$; y desde este último polinomio es real, sus raíces deben ser complejos conjugados de cada uno de los otros. Esto implica que $A x^2 + Bx + C$ es un múltiplo de a $(x + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)(x + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i) = x^2 + x + 1$, y, por tanto, que el $A = B = C$. (Tenga en cuenta, sin embargo, que no necesariamente es igual a 1.)