Encontrar el límite de esta secuencia

Question

Supongamos que $$ f_n(x)=\sum_{k=1}^n \frac{\cos(kx)}{k}, $$ y deje $a_n=\min_{x \in [0,\pi/2]} f_n(x)$, encontramos $\lim_{n \to\infty} a_n$.

Escribí un programa y se encontró que la $\arg\min_{x \in [0,\pi/2]} f_n(x)$ a $\pi/2$, y el límite de $\{a_n\}$ parece ser $-\ln(2)/2$.

¿Alguien puede dar una prueba?

Answer 1

El uso de la expansión de Taylor $$-\log(1-t) = \sum_{k=1}^\infty\frac{t^k}k,$$ $$ -\log(1-e^{ix}) = \sum_{k=1}^\infty\frac {e^{ix})^k}k = \sum_{k=1}^\infty\frac{e^{ikx}}k = \sum_{k=1}^\infty\frac{\cos(kx)}k + i \sum_{k=1}^\infty\frac{\sin(kx)}k $$ y su suma es $n$-ésima suma parcial de la parte real. Pero $$f(x) = \Re(-\log(1-e^{ix})) = -\frac12\log 2 - \frac12\log(1-\cos x)$$ Puede ser demostrado (Dirichlet prueba) que $f_n\to f$ uniformemente en $[\epsilon,\pi/2], \epsilon>0$, y el uso de max {$f_n(x):x\in[a,b]$}$\to$ max{$f(x):x\in[a,b]$}, $$\min f_n\to\min f.$$