Solucionar $(1+z)^8=(1-z)^8$

Question

Mi conjetura es que escribo esto como $$\left(\frac{1+z}{1-z}\right)^8=1.$$ We can then find 8 possibilities for $\frac{1+z}{1-z}$, namely $\cos(k\pi/4)+i\sin(k\pi/4)$, $k=1,\ldots,8$. For each $k$ we can then deduce 2 equations by putting $z=x+iy$, for example for $k=1$ we get: $$\frac{1+x+iy}{1-x-iy}=\frac12 (1+i).$$ Now we find two equations for $x$ and $y$, by noting both the real and imaginary parts of the equations should be equal, and can thus find $z$.

Sin embargo, haciendo esto $k=1,\ldots,8$ parece algo engorroso. ¿Alguien sabe de una manera más rápida de encontrar el $z$? Gracias de antemano.

Answer 1

SUGERENCIA:

$\left(\dfrac{1+z}{1-z}\right)^8=1 \implies$

$\left(\dfrac{1+z}{1-z}\right)^4=\pm{1} \implies$

$\left(\dfrac{1+z}{1-z}\right)^2=\pm{1},\pm{i} \implies$

$\left(\dfrac{1+z}{1-z}\right)^1=\pm{1},\pm{i},\pm{\dfrac{1+i}{\sqrt{2}}},\pm{\dfrac{1-i}{\sqrt{2}}}$

Answer 2

Usted obtener inmediatamente

$${1+z\over1-z}=\omega$$

donde $\omega$ es cualquiera de la octava raíces de la unidad, salvo que, como resulta, $-1$. Esto se soluciona en dos pasos:

$$1+z=\omega(1-z)\implies(1+\omega)z=\omega-1\implies z={\omega-1\over\omega+1}$$

(lo que explica por qué $\omega=-1$ está descartado), y esto da

$$z={\omega-1\over\omega+1}\cdot{\overline\omega+1\over\overline\omega+1}={\omega-\overline\omega\over2+\omega+\overline\omega}={i\sin(\pi k/4)\over1+\cos(\pi k/4)}\quad\text{with}\quad-3\le k\le3$$

Conectar los diversos $k$'s y simplificando, obtenemos

$$z=0,\quad\pm i,\quad\pm(\sqrt2\pm1)i$$

Este enfoque se presta a los poderes arbitrarios; no hay nada especial acerca de la $\omega$ siendo un octavo de la raíz de la unidad (aparte de ser capaz de evaluar las funciones trigonométricas como radicales).

Answer 3

Esto se reduce a:

$$1+8x+28x^2+56x^3+70x^4+56x^5+28x^6+8x^7+x^8=1-8x+28x^2-56x^3+70x^4-56x^5+28x^6-8x^7+x^8$$Which becomes $$16x+112x^3+112x^5+16x^7=0$$

De dónde $x=0$ o $$x^6+7x^4+7x^2+1=0$$

Escribir $y=x^2$ obtener $$y^3+7y^2+7y+1=0$$

Tenemos la solución obvia $y=-1$ $$y^2+6y+1=0$ $ para los demás

Answer 4

$\dfrac{1+z}{1-z}=e^{\frac{2ik\pi}{8}}$ $k=1,\ldots,8$ , no existe solución para $k=4$. Usted puede encontrar $z$ resolviendo el comienzo de la ecuación