fracciones de transformaciones lineales

Question

De mi investigación, he descubierto que esta es una transformación de Möbius. La correspondiente página de la wiki me ayudó a entender un poco más, sin embargo no puedo averiguar cómo obtener la imagen.

Así que vamos a hablar de lo que yo sé. Así que estamos describiendo el conjunto de todos los valores de $f(z)$ donde $|z| < 1$. También sé que ninguno de los tres puntos.

También sé que

Dado un conjunto de tres distintos puntos z1, z2, z3 en la esfera de Riemann y un segundo conjunto de puntos distintos w1, w2, w3, existe precisamente una transformación de Möbius f(z), el cual se asigna el zs para el ws

y de la ayuda de otro foro, tengo las siguientes:

Para decidir qué parte es la imagen del interior |z| < 1 de la disco, averiguar qué punto f envía al infinito.

Answer 1

Sugerencia. La inversa de a$w=\dfrac{3z+i}{-iz+3}$$z=\dfrac{3w-i}{iw+3}$. Por lo $|z|<1$ es equivalente a $|3w-i|<|iw+3|$ o $3|w-\dfrac{i}{3}|<|i||w-3i|=|w-3i|$. Uno puede encontrar la imagen deseada teniendo en cuenta la de Apolonio " círculo en el plano complejo ($w$-plano) o elevando al cuadrado ambos lados y el uso de $|z|^2=z\overline{z}$.

Edit: Para elaborar el 'cuadrado ambos lados y el uso de $|z|^2=z\overline{z}$' parte: $$\begin{align*} |3w-i|^2&<|iw+3|^2\\ (3w-i)(3\overline{w}+i)&<(iw+3)(-i\overline{w}+3)\\ 9w\overline{w}+3iw-3i\overline{w}+1&<w\overline{w}+3iw-3i\overline{w}+9\\ 8w\overline{w}&<8\\ |w|^2&<1\\ |w|&<1 \end{align*}$$

Por lo tanto la imagen es de nuevo el de abrir la unidad de disco.

Answer 2

Si conecta $z = e^{i\theta}$ en su lineal fraccional de transformación de obtener $${3e^{i\theta} + i \over -ie^{i\theta} + 3}$$ Este es el mismo como $$e^{i\theta} {3 + ie^{-i\theta} \over 3 - ie^{i\theta}}$$ El numerador y el denominador de la fracción son complejos conjugados de cada uno de los otros, por lo que tiene magnitud $1$ no $e^{i\theta}$. De modo que su producto también tiene norma $1$ todos los $\theta$ y por lo tanto el lineal fraccional transformación del círculo unidad para sí misma.

En general, cuando se lleva a la unidad de círculo a sí mismo que usted puede utilizar factorizations esta manera de demostrarlo.

Answer 3

Hay varias maneras de hacer estos, pero la mayoría de ellos son facilitados por el tipo de saber la respuesta. Recordemos que fractilinear transformaciones preservar circilinearity, es decir, los círculos y las líneas se asignan a las líneas y los círculos (NO, respectivamente -, tal vez un círculo con una línea o viceversa). Y una línea es un círculo que pasa a través de infinity (en realidad - es una buena manera de pensar en estas cosas).

Así que si yo fuera usted, me gustaría tener una idea de por donde el círculo se va buscando en los límites de la compleja unidad de cubo, o tal vez los cuatro fáciles de coordenadas (el puramente real y el puramente imaginarias) de la unidad de círculo (o ambos), y ver a dónde van. Esto le da una buena idea.

También, quiero señalar que el nuevo 'infinito punto es cuando el denominador es cero.

¿Que dar un buen comienzo?