Estoy confundido con la siguiente pregunta de mi libro de texto de matemáticas.
Demostrar que para todos los números reales $x$ y $y$ Si $x+y \geq 100$ entonces $x \geq 50$ o $y \geq 50.$
El "o" es lo que me pone. Para que la o sea verdadera, ¿no necesitamos que sólo una de las afirmaciones de la operación sea verdadera? ¿No podríamos tener $x = 12, y = 55, x+y = 67$ ¿hay algo que se me escapa? ¿No debería ser una y en lugar de una o?
El problema está en el conectivo "o". No es (siempre) excluyente. Supongamos que tomas $x=12$ entonces para satisfacer la desigualdad $x+y\geq 100$ necesitas $y \geq 88$ que sí satisface $y \geq 50$ .
Una pista: Demuestra el contrapositivo.
Editar: Respondiendo al comentario de abajo, no, porque $x+y=72 < 100$ . Su hipótesis es que $x+y \geq 100$ . En otras palabras, hay que pensar en este orden:
Si se verifica el 2 o el 3, se refuerza la creencia de que es cierto. Si no, has encontrado un contraejemplo, pero es imprescindible que $x+y \geq 100$ se mantiene.
La forma del enunciado que necesitas probar es "si A entonces B". Cuando hablas del "o" en tu afirmación, estás discutiendo si B es verdadera. Pero recuerda que "si A entonces B" NO implica que "si B entonces A". Apliquemos eso a tu ejemplo...
Dejemos que $x,y\in\mathbb{R},\:x=12,\:y=55$ .
Entonces $x+y=67\lt100$ .
Ahora dejemos que A = " $x+y\geq100$ " y B = " $x\geq50$ o $y\geq50$ ".
Teniendo en cuenta nuestros valores para $x$ y $y$ tenemos que A es falso y B es verdadero.
Así que tenemos que "si A entonces B" es verdadero y "si B entonces A" es falso.
Sigue siendo usted quien debe demostrar la afirmación, pero hemos demostrado por qué su ejemplo no es realmente un contraejemplo.
No hay ningún error, pero tal vez podrían haberlo redactado mejor, o tal vez todavía no has aprendido que las conversaciones no siempre se mantienen.
Por ejemplo, "Si un animal es un perro, entonces ese animal es un canino". Eso es cierto, ¿no? Pero, ¿es cierto lo contrario? "Si un animal es un canino, entonces ese animal es un perro". Eso no es necesariamente cierto. El animal podría ser un lobo, un coyote, un zorro, etc.
Por lo tanto, "Si $x + y \geq 100$ Entonces, o bien $x \geq 50$ o $y \geq 50$ ." Podríamos tener $x = 3^7$ y $y = (-7)^3$ y $x + y$ sigue siendo más de 100. Supongamos que $x = y = 7^2$ . Entonces $x + y$ no llega a 100, porque ambos $x$ y $y$ no llegan a los 50.
Lo contrario sería "Si $x \geq 50$ o $y \geq 50$ entonces $x + y \geq 100$ ." Pero, como ya ha demostrado, esto no siempre es cierto. La condición " $x \geq 50$ o $y \geq 50$ " es no equivalente a la condición " $x + y \geq 100$ ."
La inversa de un enunciado verdadero también es verdadera si, y sólo si, el enunciado y su inversa son equivalentes. Por ejemplo, "Si un entero positivo es el cuadrado de un primo, entonces tiene exactamente tres divisores positivos". Su inversa es "Si un entero positivo tiene exactamente tres divisores positivos, entonces es el cuadrado de un primo". Ambas afirmaciones son verdaderas y equivalentes.
El idioma inglés, por desgracia, no distingue explícitamente entre los significados inclusivos (ambos pueden ser verdaderos) y exclusivos (ambos no pueden ser verdaderos) de la palabra "or".
En la lógica formal, $\vee$ (a menudo pronunciado "o") es siempre inclusivo, y en consecuencia, en matemáticas, la palabra "o" suele significar inclusivo, y eso es lo que se quiere decir en este caso.
Aunque hay que tener en cuenta que cuando hablamos en inglés, podemos acabar utilizando "or" exclusivamente, aunque estemos hablando de matemáticas. Desgraciadamente, hay que estar preparado para deducir del contexto a qué variante de "or" se refiere :(
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
