Cómo probar que si $2x^2-x=2y^2-y$, $x=y$ $x,y\in\mathbb{Z}.$

Question

Cómo probar que si

$2x^2-x=2y^2-y$ , $x=y$ $x,y\in\mathbb{Z}.$

Answer 1

Restar las dos expresiones, se obtiene $$2x^2-x-(2y^2-y)=(2x^2-2y^2)-(x-y)=2(x-y)(x+y)-(x-y), $$ which factors as $(x-y)(2x+2y-1)$. Now notice that the second term $2x+2y-1$ is odd, so different from $0$, hence if the two expressions are equal, it must be the first term $x-y$ that is $0$.

Answer 2

Quiere mostrar que la ecuación de $z=2x^2-x$ tiene más de un número entero solución. Recordar la fórmula cuadrática, lo que indica que las soluciones son $$x=\frac{1}{4}\pm \frac{\sqrt{1+8z}}{4}.$$ Quiere mostrar que en la mayoría de uno de estos puede ser un número entero. Pero su suma es $\frac14$, que no es un número entero, así que, obviamente, ambos no pueden ser números enteros.

Answer 3

Deje $y=x+k$ algunos $k \in \mathbb{Z}^{\geq 0}$ (si $k<0$, a continuación, intercambiar $x$$y$). A continuación, $$2x^2-x=2y^2-y$ $ implica que \begin{align*} 2x^2-x &= 2(x+k)^2-x+k \\ &= (2x^2-x)+4kx+2k^2+k \end{align*} o, equivalentemente, que el $k(4x+2k+1)=0$. Si $k \neq 0$, esto implica $4x+2k+1=0$, y esto le da una contradicción, ya que $4x+2k+1$ es impar y $0$ es incluso (como Andrés Caicedo de la respuesta).

Answer 4

$\displaystyle{x = y\quad\vee\quad x + y = {1 \over 2}.\quad}$ El segundo no es posible. A continuación, $\displaystyle{\color{#ff0000}{\Large\quad x = y}}$