¿Qué es el análisis funcional en palabras sencillas?

Question

Para empezar , yo sólo soy un estudiante de la escuela secundaria (17yo) pero estoy muy interesado en las matemáticas superiores. Sin embargo, solamente conocemos tan poco en mi escuela (solo la variable de cálculo y básicos de álgebra lineal). En el pasado he auto-he aprendido algunas álgebra abstracta y muy topología básica mediante la búsqueda de recursos en línea, pero nunca se puede llegar a la profundidad en los temas.

Cuando leí sobre el análisis funcional, me encuentro con los objetos, como la función de los espacios y las dimensiones infinitas de los espacios que nunca puedo entender. ¿Qué exactamente significa ser una función del espacio, ¿cómo se puede medir la métrica? Sé que es difícil y requiere de mucho análisis real. Puede alguien darme algunas ideas fáciles y presentaciones?

Answer 1

Para mí, hacer el análisis funcional se describe mejor como "ir más allá de álgebra lineal'.

En álgebra lineal, los objetos que son (coordenadas) de los vectores, es decir, los objetos de un espacio vectorial $V$, lo que puede multiplicar un escalar o agregar juntos y de nuevo obtener un vector: Para $v,w\in V$ $\alpha \in \mathbb R$ tenemos $v + w \in V$$\alpha v \in V$.

El análisis funcional de las respuestas a la pregunta " ¿Qué pasa si $V$ infinito-dimensional?'. La idea detrás de esto es la observación de que estas vectorial axiomas de objetos de coordinar con los vectores de un número finito de filas. Por ejemplo, la suma de dos funciones diferenciables es una función derivable de nuevo (y un número de veces que una función derivable es diferenciable, también). Lo mismo es cierto para otras clases de funciones, por ejemplo, los polinomios o cuadrados summable secuencias (que en realidad sólo son funciones de $\mathbb N$ a $\mathbb R$/$\mathbb C$). Tenga en cuenta que hay otros ejemplos de dimensiones infinitas espacios vectoriales que no son espacios de funciones y ejemplos de la función de los espacios que son finito-dimensional. Pero una de las cosas que quería hacer en principios del siglo 20 para manejar la mecánica cuántica es para obtener algún tipo de "álgebra lineal de funciones, no vectores fila".

Cuando permitimos que las funciones en lugar de vectores a partir de un número finito de dimensiones del espacio, hay un montón de cosas que funcionan de forma similar, pero un montón de cosas que no funcionan de forma similar en comparación al álgebra lineal. Por ejemplo:

• Todavía podemos medir la longitud de estos vectores, pero de repente es importante que la norma nos (no todas las normas son equivalentes en un infinito-dimensional espacio vectorial).

• Podemos mirar lineal de operadores de $A$, pero que no puede ser representada como una matriz (de hecho, en los primeros días de análisis funcional, Heisenberg hizo representar los operadores diferenciales como matrices con un infinito número de filas y columnas).

• Podemos calcular los autovalores $\lambda$, pero dado que el rango de-nulidad teorema ($\dim V = \operatorname{rank}A + \dim \operatorname{ker}A $) no ayuda si $\dim V = \infty$, no sólo estamos interesados en los casos donde $(A-\lambda I)$ no es inyectiva (autovalores), pero también los casos donde $(A-\lambda I)$ no es surjective (el llamado espectro continuo). También, el cálculo de autovalores se hace más difícil ya que no podemos calcular un polinomio característico.

• Hay un montón de espacio de infinitas dimensiones de los espacios. Podemos tener secuencias de Cauchy que no convergen desde que se eligió la "equivocado" de la norma. Esta es la razón por la Banach (y de Hilbert) los espacios son interesantes.

• No todos los operadores lineales son continuas más. De hecho, el más interesante de los operadores (es decir, los operadores diferenciales) no son continuas.

Todas estas cosas requieren un más riguroso marco analítico de álgebra lineal hace y esto es donde la parte de análisis en el análisis funcional.

Addendum: me acabo de dar cuenta que he hablado mucho sobre el " qué "y no el "por qué".

Esencialmente, estas preguntas ayudan a responder a preguntas difíciles acerca de las funciones, por ejemplo, si usted está interesado en la solución de ecuaciones diferenciales - autovalores de un operador diferencial $D$ son sólo los puntos en los que se puede resolver la ecuación diferencial $(D - \lambda)f = 0$.

Answer 2

Imaginar el muestreo de los sonidos en su entorno a lo largo de un período de tiempo, a partir de tiempo $0$ y termina en el tiempo $T$. Una manera de codificar los sonidos sería medir la presión de aire de los niveles en su tímpano en cada momento $0 \le t \le T$. Los sonidos correspondería a una función de $p(t)$ donde $p(t)$ es el aire nivel de presión en el tiempo de $t$. Usted puede agregar dos sonidos mediante la adición de las funciones. Usted puede aumentar el volumen de un sonido a través de la multiplicación de todos los niveles de la presión por una constante. Estos son lineales operaciones en el espacio de los sonidos: $$ \alpha_1 p_1(t) + \alpha_2 p_2(t). $$ Así que los sonidos que escucha en un intervalo de tiempo $[0,T]$ puede ser descrito en términos de las funciones que cuantificar los niveles de presión sonora en el tambor del oído como una función de la $t$, y la colección de sonidos es un espacio lineal porque se puede multiplicar un sonido por un escalar (cambio de volumen) y se puede superponer dos sonidos mediante la adición de su correspondiente presión de sonido funciones.

Un tono puro sería $\cos(2\pi f t+\phi)$ donde $f$ es la frecuencia en unidades de ciclos por segundo, y $\phi$ es un desplazamiento. Por ejemplo, si $f=400$, $\cos(2\pi f t+\phi)$ ciclo a través de 400 ciclos completos como $t$ varía en un intervalo de $1$ segunda. Un ciclo por segundo se conoce como uno de Hertz, nombrado después de que el Físico alemán Heinrich Hertz. Los extremos de la típica rango de audición humano es de 20Hz a 20.000 Hz. Do central en el piano es acerca de 261.6 Hz. (C) medio es designado C4 científica notación de tono debido a la nota de la posición como la cuarta tecla C en un estándar de 88 teclas del teclado del piano.)

Supongamos que un nivel de presión acústica en función de $p(t)$ comienza a $0$ $t=0$ y termina a las $0$ $t=T$ para un intervalo fijo de tiempo $[0,T]$. La primera cosa notable, usted aprenderá acerca de un nivel de presión acústica en función de $p$ es que el $p$ puede ser escrita como una suma infinita de tonos puros de la forma $$ \sin(\pi t/T),\sin(2\pi t/T),\sin(6\pi t),\sin(8\pi t),\cdots. $$ Es decir, no son exclusivas de las amplitudes $A_1,A_2,A_3,\cdots$ tal que $$ p(t) = A_1\sin(\pi t/T)+A_2\sin(2\pi t/T)+A_3\sin(3\pi t/T)+\cdots . $$ Esto puede no parecer importante, pero imagino que $p$ es la presión del sonido en función de su canción favorita, completa con instrumentos y/o voces de más de 3 minutos período de tiempo. A continuación, se puede reconstruir toda la canción agregado por el conjunto de tonos puros, empezando por la más baja de 1/2 ciclo 3*60=180 segundos, lo que se traduce a $(1/2 cycle)/(180 sec)=\frac{1}{360}\mbox{ Hz.}$. Como comenzar a agregar los tonos de $\frac{1}{360}\mbox{ Hz., }\frac{2}{360}\mbox{ Hz., }\frac{3}{360}\mbox{ Hz. }, \cdots$ sólo con el derecho de las amplitudes, todo el nivel de presión de sonido función es duplicado completamente más que 3 minutos de período de tiempo. En otras palabras, todos los sonidos de la función $p$ se puede escribir como una combinación lineal de tonos puros. El conjunto de funciones $$ \{ \sin(\pi t/T),\sin(2\pi t/T),\sin(3\pi t/T),\cdots \} $$ es una base de funciones a partir de la cual todos los sonidos de la presión de las funciones de $p$ puede ser escrito.

El Análisis funcional se ocupa de la función de los espacios, con la determinación de las amplitudes $A_n$, y con la convergencia de las infinitas sumas de dinero para el sonido original función de presión. La descomposición de un nivel de presión sonora en función de "armónicos" (tonos puros que son múltiplos enteros de una base común de frecuencia) es el significado original de "Análisis Armónico."

Se puede aplicar el mismo análisis a una imagen donde puedes ver las líneas de exploración de una imagen como la presión de las funciones. Las líneas de exploración se escriben en términos de básica variaciones periódicas mediante la determinación de las amplitudes. Las muy altas frecuencias" de los datos de los píxeles son eliminadas (llamado filtrado) y los cambios de una línea a la siguiente se almacenan después de un poco de compresión. Este es el formato JPG.

La descomposición de las funciones básica de los modos independientes tiene numerosas generalizaciones.

Answer 3

Algebraicas análisis es encontrar un desconocido [ función ] en términos de un infinito polinomio. La función desconocida se especifica por algún tipo de ecuación diferencial.

El análisis funcional es la búsqueda de un desconocido en términos de una serie infinita de funciones. El ejemplo más sencillo ser "análisis de fourier", que es una solución general de la vacía de espacio de la ecuación de onda.

¿Por qué hacemos esto ? Sin duda se trata de mucho más cálculo, sobre todo si el resultado final ha de ser evaluado numéricamente; como sea necesario en la física experimental y problemas de la ingeniería ? Recuerde, una serie infinita de funciones trascendentes, ellos mismos con infinitas representaciones, lento para evaluar numéricamente.

En algunos casos, las funciones de base puede ser fácil - tales como Polinomios de Legendre, que a menudo aparecen en la teoría cuántica; otras veces difícil funciones tales como las Funciones de Bessel, que no se entiende bien, incluso por muchos de pregrado nivel de los matemáticos.

Incluso en el caso más simple, series de fourier, en los primeros días matemáticos puros estábamos seguros de si una de fourier decomosition de una función no era una representación exacta de la misma, y bajo qué condiciones - lo que los rangos de las variables dependientes fueron segura ? Y cómo muchos de los términos a utilizar para un determinado grado de precisión ?

Más tarde matemáticos Sturm y de Liouville mostró que para TODOS los de segundo orden ecuaciones diferenciales lineales , que son la gran mayoría se utiliza en la Ciencia y la Ingeniería, las funciones de base , también conocida como funciones propias son siempre ortogonales, lineal y la funcional de la descomposición de cualquier solución es única y la representación exacta de la verdadera solución.

Además, funciones propias siempre han de relaciones de recurrencia un buen ejemplo de ello son los Tchebyshef polinomios que ayudan en el análisis posterior, tanto algebraicas y numéricas.