$f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ monotone increase$\Rightarrow$$f$ es mensurable

Question

Problema. Deje $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ ser monótona creciente de la función. Mostrar que $f$ es medible.

Solución. Sabemos que el conjunto de discontinuites de cualquier monótona creciente en función $f$ es de medida cero (ya que, en la mayoría de los contables). Definimos una función continua $g$ tal que $g(x)=f(x)$ excepto el discontinua de puntos de $g$. A continuación, $g(x)=f(x)$ en casi todas partes. Tenga en cuenta que cualquier función continua $g: \mathbf{R}\rightarrow \mathbf{R}$ es medible. También tenga en cuenta que si $g$ es medible y $f=g$ casi en todas partes, $f$ es medible. Por lo tanto llegamos a la conclusión de que $f$ es medible.

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Es mi solución correcta? Gracias.

Answer 1

Si$f$ está aumentando, el conjunto {$x:f(x)>a$} es un intervalo para todos$a$, por lo tanto medible. Por definición (Royden's), la función$f$ es mensurable.

Answer 2

Es cierto que $f$ es continua en casi todas partes, pero no es cierto que existe una función continua $g:\mathbb R\to\mathbb R$ tal que $f=g$ en casi todas partes, a menos que $f$ ya es continuo, como Jacob dijo en un comentario. Tenga en cuenta que la mano izquierda y la mano derecha de los límites de $f$ existen en todas partes, y si no son iguales para $f$, entonces ellos no pueden ser iguales para cualquier función igual a $f$ en casi todas partes. E. g., la función característica de a $[0,\infty)$ es monotono y no es igual en casi todas partes es una función continua.

(La función característica de los racionales es igual en casi todas partes es una función continua, pero es continua en ningún lugar. Esta muestra de la otra dirección, ¿por qué continua "casi en todas partes" y "la igualdad en casi todas partes es una función continua" son muy diferentes.)

La modificación de su trabajo a algo correcto requiere más esfuerzo que el más sencillo y claro de la solución dada por Cass. Deje $D$ el conjunto de discontinuidades de $f$. A continuación, $D$ es contable, por tanto, de una medida $0$. La restricción $f|_D$ es medible en $D$ debido a que cada subconjunto de $D$ es medible, y la restricción $f|_{\mathbf R\setminus D}$ es medible en $\mathbf R\setminus D$ porque es continua. Usted puede mostrar esto implica que $f$ es medible.