¿Es$\mathbb{R}$ el único campo ordenado?

Question

Un campo, en matemáticas, se refiere a un conjunto $A$, que es un grupo abelian en virtud de una operación "$\ast$", $(A,\ast)$, que además es un anillo conmutativo con una operación adicional, $+$, definida en (A,*,+), que cuando se da la garantía de que para cada elemento $x\in A$, existe un elemento $y$ tal que $x+y= e$ donde $e$ es el elemento de identidad para la operación $+$. Ahora que he leído la definición de un orden de campo como sigue

Un campo de $F$, se ordenó campo si existe dos subconjuntos disjuntos $P$ $-P$ (donde $-P= \{-x\mid x\in P\,\,\,\}$ ) tales que la unión de $P$, $\{0\}$ y $-P$$F$, y un elemento $b$ $F$ mayores que el elemento $a$ si $b-a$ pertenece a $P$, menos de la si $b-a$ pertenece a $-P$ e igual si $b-a=0$.

Ahora, dada esta definición con la mención de "0" y "-", la operación estoy convencido de pedir que "Hacer ordenó campos siempre contienen $\mathbb{R}$ o lo que puedo decir es $\mathbb{R}$ el único ordenado de campo? Será mejor si alguien se conecta una referencia a su respuesta.

Answer 1

No, hay muchas otras ordenó campos. Ver la página de la Wikipedia sobre ordenó campos; algunos ejemplos de ordenadas los campos que no se $\mathbb{R}$

• Los racionales, $\mathbb{Q}$
• El real números algebraicos, $\overline{\mathbb{Q}}\cap\mathbb{R}$
• Las funciones racionales sobre $\mathbb{Q}$, es decir, $\mathbb{Q}(x)$
• Las funciones racionales sobre $\mathbb{R}$, es decir, $\mathbb{R}(x)$

Tenga en cuenta que $\mathbb{Q}\not\supseteq\mathbb{R}$, e $\mathbb{R}(x)\not\subseteq\mathbb{R}$, por lo que ordenó que los campos no necesita contener o estar contenidos en, $\mathbb{R}$. Además, como Hurkyl señala a continuación, $\mathbb{Q}(x)$ no contiene ni está contenida en $\mathbb{R}$.

Answer 2

Los axiomas que mencionar que definen un orden de campo están formulados en primer orden la lógica. Cualquier conjunto de primer orden axiomas que tiene una infinita modelo de realidad tiene modelos de cualquier tamaño infinito. Este es el alza de la versión de la Loewenheim-teorema de Skolem. Así que hay arbitrariamente grande, ordenó a los campos.

El axioma de Arquímedes no puede ser formulado en primer orden la lógica. Este axioma mantiene los campos pequeños, como se mencionó anteriormente: Cada Arquímedes ordenó campo es isomorfo a un subcuerpo de los reales.

Por otro lado, si usted añade un poco de integridad axioma (cada subconjunto acotado tiene al menos un límite superior), el campo no puede ser demasiado pequeño. Cada Arquímedes ordenó campo es isomorfo a los reales. El axioma de completitud también puede ser formalizado en el primer orden de la lógica.

Answer 3

Cualquier ordenó campo es característico 0 y contiene una isomorfo copia de los números racionales. Cualquier campo automorphism corrige esta copia de los racionales. Como resultado, es poco lo que se pierde diciendo que cualquier ordenó campo contiene los números racionales, por lo tanto contiene "algunos" de los números reales. Así que este:

"Pero en realidad tengo la intención de investigar puede haber ordenado los campos (si no, entonces los campos), que son conjuntos que no contiene números reales. Todos los ejemplos que usted ha proporcionado contener los números reales. Así podría dar algún ejemplo?"

no va a funcionar, todos ellos contienen una infinidad de "números reales", aunque, como se señaló, tal vez no "todos" los números reales.

Answer 4

Sin embargo, cualquier campo ordenado de Archimedean es (isomorfo a) un subcampo de$\mathbb R$.

Answer 5

Estás casi en lo cierto:$\Bbb R$ es el único campo completo de Arquímedes, totalmente ordenado.