La función seno tiene la siguiente propiedad : para cualquier $x,y$ tenemos $\sin(x)+\sin(y)=\sin(x+y)$ si al menos uno de $x,y,x+y$ es $0$ modulo $2\pi$ .
Esbozo a continuación mi prueba actual de ello, que me parece algo insatisfactoria. ¿Alguien conoce una prueba mejor?
Sea $\xi=\sin(x)$ y $\eta=\sin(y)$ . Entonces $\sin(x+y)=\xi\cos(y)+\eta\cos(x)$ Así que
$$ \begin{array}{lcl} \sin^2(x+y)&=&\xi^2(1-\eta^2)+\eta^2(1-\xi^2)+2\xi\eta\cos(x)\cos(y) \\ &=& \xi^2+\eta^2-2\eta^2\xi^2+2\xi\eta\cos(x)\cos(y) \end{array} \tag{1}$$
De donde
$$ \big(\sin^2(x+y)-(\xi^2+\eta^2-2\eta^2\xi^2)\big)^2= 4(\xi\eta)^2(1-\xi^2)(1-\eta^2) \tag{2} $$
Si $\sin(x)+\sin(y)=\sin(x+y)$ se deduce que $A(\xi,\eta)=0$ donde
$$ \begin{array}{lcl} A(\xi,\eta)&=&\big((\xi+\eta)^2-(\xi^2+\eta^2-2\eta^2\xi^2)\big)^2- 4(\xi\eta)^2(1-\xi^2)(1-\eta^2) \\ &=& \big(2\xi\eta-2\eta^2\xi^2\big)^2- 4(\xi\eta)^2(1-\xi^2)(1-\eta^2) \\ &=& \big(2\xi\eta\big(1-\eta\xi\big)\big)^2- 4(\xi\eta)^2(1-\xi^2)(1-\eta^2) \\ &=& 4(\xi\eta)^2 \Bigg(\big(1-\eta\xi\big)^2-(1-\xi^2)(1-\eta^2) \Bigg) \\ &=& 4(\xi\eta)^2 \Bigg(\big(1-2\eta\xi+\eta^2\xi^2\big)-\big(1-\xi^2-\eta^2+\eta^2\xi^2\big) \Bigg) \\ &=& 4(\xi\eta)^2 \big(\xi-\eta\big)^2 \\ \end{array} \tag{3}$$
Así que uno de $\xi,\eta,\xi-\eta$ debe ser cero. Un poco más de análisis de casos muestra entonces que al final uno de $x,y,x+y$ debe ser cero módulo $2\pi$ como deseaba.
