Deje $n$ ser un entero positivo. Mostrar que cada entero $m$ $ 1 \leq m \leq 2n $ puede ser expresado como $2^pk$ donde $p$ es un entero no negativo y $k$ es un entero impar con $1 \leq k < 2n$.
Yo escribí algunos $m$ a de tratar de concebir la prueba. He observado:
$\bbox[5px,border:1px solid grey]{\text{Case 1: $m$ odd}}$ números Impares $\neq 2p$, por lo tanto la única opción es poner a $p = 0$$k = m$.
$\bbox[5px,border:1px solid grey]{\text{Case 2: $m$ even and power of 2}}$ $p$ puede ser determinado por la división de inspección o a la "plaza" con el poder de la $2$. Esto requiere de $k = 1$. Es una fórmula explícita para $p$ necesario?
$\bbox[5px,border:1px solid grey]{\text{Case 3: $m$ even and NOT A power of 2}}$
$\begin{array}{cc} \\ \boxed{m = 6}: 6 = 2^1 \cdot 3 \qquad \qquad & \boxed{m = 10}: 10 = 2^1 \cdot 5 \qquad \qquad & \boxed{m = 12}: 12 = 2^2 \cdot 3 \\ \boxed{m = 14}: 14 = 2 \cdot 7 \qquad \qquad & \boxed{m = 18}: 18 = 2^1 \cdot 9 \qquad \qquad & \boxed{m = 20}: 20 = 2^2 \cdot 5\\ \boxed{m = 22}: 22 = 2 \cdot 11 \qquad \qquad & \boxed{m = 24}: 24 = 2^3 \cdot 3 \qquad \qquad & \boxed{m = 26}: 26 = 2^1 \cdot 13 \end{array}$
La solución de la Prueba por Contradicción: $\color{#0073CF}{\Large{\mathbb{[}}}$Deje $p$ ser el mayor entero no negativo
tal que $2^p | m. \color{#0073CF}{\Large{\text{]}}}$ $\color{red}{\Large{\text{[}}}$ a Continuación, $m= 2^pk$ para algún entero positivo $k$. Necesariamente $k$ es impar,
de lo contrario esto sería contradice la definición de $p$. $\color{red}{\Large{\text{]}}}$$\Large{\text{1.}}$ Podría alguien por favor exponer en la respuesta? Se diferencia de mi trabajo anterior?
$\Large{\text{2.}}$ Hay una fórmula general del modelo para el Caso de $3$?
Yo hice referencia a 1. Fuente: Ejercicio de 5,42(a), P125 de Pruebas Matemáticas, 2ª ed. por Chartrand et al
Respuestas
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Yo no estoy segura de lo que usted está buscando, ya que la prueba está bien, pero aquí hay algunas alternativas:
- Usted podría utilizar el único primer factoritzation, así que para cualquier $m$,$k_i\geq 0$, tal que: $$m=2^{k_0}\cdot 3^{k_1}\cdot 5^{k_2}\cdot \dots$$ A continuación, $p=k_0$ $k=3^{k_1}\cdot 5^{k_2}\cdot \dots$ que hace el trabajo.
- En el caso, donde $m$ es aún, pero no un poder de $2$, supongamos por el contrario, hay números que no representable de esa manera. Entonces, por el principio de orden, hay una más pequeña, que denotamos por a $n$. Como $n$ es incluso, hay un $m\in\mathbb N$$2m=n$. Desde $m<n$, $m$ tiene una representación $m=2^pk$, pero, a continuación,$n=2^{p+1}k$, una contradicción.
Esto es fácil por la inducción de una $m$. Si $m$ es incluso, a continuación, $m/2$ puede ser escrito como $2^qk$ $k$ impar por inducción, y la escritura $m=2^{q+1}k$ va a hacer. Si $m$ es impar escrito $m=2^0m$ va a hacer.
Única factorización no es necesario aquí ya que probar la unicidad de la expresión no se pregunta. Sería fácil, aunque para mostrar la singularidad de este caso "a mano", incluso sin el uso de factorización única.
El único "sutil" punto (principalmente porque podría ser pasado por alto) está demostrando que $k<2n$. El argumento sólo da $k\leq2n$, pero el último de la desigualdad, junto con $k$ impar implica $k<2n$.
$p$ es el mayor entero tal que $2^p$ divide $m$. Esto significa que :
existe un entero $k$ tal que $m = 2^p k$
para cualquier entero $q$, si existe un número entero $l$ tal que $m = 2^q l$,$p \ge q$.
Supongamos que el $k$ que se obtiene por 1. es incluso. A continuación, $k = 2l$ para algunos entero $l$. Por lo tanto $m = 2^p(2l) = 2^{p+1}l$. Ahora aplique 2. con $q = p+1$ : tienes que $p \ge p+1$. Esto es una contradicción, por lo $k$ debe ser impar.
Por ejemplo, supongamos $m = 24$. Resulta que $24 = 2^3 * 3$, lo $2^3$ divide $24$. $3$ es el mayor entero $p$ tal que $2^p$ divide $m$ (de hecho, puede usted comprobar que $16,32,64,128,\ldots$ no se dividen $24$) y así nos encontramos con que, efectivamente, $3$ es impar y $24 = 2^3 * 3$ fue la descomposición queríamos.
La solución que te dio no es una fórmula algebraica para $p$ (como usted hubiera querido), pero una fórmula lógica para $p$, que es la mejor cosa siguiente, como se dice exactamente lo que las $p$, usted tiene que tomar.
