Permita que$X\to S$ sea un morfismo plano de esquemas noetherianos. Sé que puedo verificar la suavidad de las fibras geométricas para ver si$X\to S$ es suave.
Deje$T\to S$ ser un morfismo surjective. ¿Bajo qué condiciones puedo verificar la suavidad de$X\to S$ al verificar la suavidad de$X\times_S T\to T$?
Por ejemplo, ¿está permitido el "surjective plano finito"? ¿Es esto lo que llamamos descendencia fppf?
¿Necesito que$X\to S$ sea plano para que esto funcione?
El descenso es una extensión de la idea de las propiedades locales de morfismos (o esquemas).
Una propiedad $\mathcal{P}$ de morfismos $f:X \to S$ es local si se puede comprobar que localmente es decir, si $\{U_i\}$ es una cubierta de $S$, y para cada una de las $i$ la inducida por el mapa de $f_i:f^{-1}(U_i) \to U_i$ propiedad $\mathcal{P}$ $f$ propiedad $\mathcal{P}$. Tenga en cuenta que esto puede ser reformulada como: si $\{U_i \to S \}$ es una familia de abiertos inmersiones s.t. $\cup U_i=S$ , y para cada una de las $i$ el cambio de base de a $f_i:X \times_S U_i \to U_i$ propiedad $\mathcal{P}$ $f$ propiedad $\mathcal{P}$. También podemos sustituir la familia $\{U_i \to S \}$ con el único que cubre mapa de $U=\coprod U_i \to S$, la cual es abierta y surjective.
El descenso es el mismo concepto se aplica a un diferente topología en la categoría de esquemas, que está permitiendo que otros revestimientos, como etale/fppf/fpqc revestimientos.
Ahora, la propiedad "suavidad" desciende a través de fppf revestimientos. Así que si $T \to S$ es un fppf cubriendo mapa es decir, plana, localmente finito de presentación y surjective y $X \times_S T \to T$ es suave lo es $X \to S$.
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