¿Hay un subconjunto cerrado infinito$X$ del círculo unitario en$\mathbb C$, de modo que el mapa de cuadratura induce una biyección de$X$ a sí mismo?
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Pensemos $S^1$$\mathbb{R}/\mathbb{Z}$, por lo que queremos que un infinito cerrado subconjunto $X$ en el que la multiplicación por $2$ es un bijection. Supongamos que usted tiene por ejemplo un $X$; escribir $T:X\to X$ para la multiplicación por $2$ mapa. Cada elemento de a $x\in X$ determina una biinfinite binario de expansión $f_x:\mathbb{Z}\to\{0,1\}$, de tal manera que $T^n(x)=\sum_{k=1}^\infty f_x(k+n)2^{-k}$ por cada $n\in \mathbb{Z}$. Decir que una cadena finita de $0$s y $1$s es admisible si aparece como una secuencia de valores consecutivos de algunos $f_x$ (es decir, si aparece como una secuencia de dígitos consecutivos en el binario de la expansión de algún elemento de $X$). Para cada una de las $n$, vamos a $A_n\subseteq\{0,1\}^n$ consta de las secuencias $s$ tanto $0^\frown s$ $1^\frown s$ son admisibles (donde $^\frown$ es la concatenación de cadenas). Si $A_n$ está vacía para algunos $n$, lo que significa que, dada una secuencia de $n$ dígitos consecutivos en cualquier $f_x$, todos los de la anterior dígitos están unívocamente determinados. Por palomar, para cada una de las $x$, alguna secuencia de $n$ dígitos debe aparecer infinitamente a menudo en la restricción de $f_x$$\mathbb{N}$, y de ello se sigue que todos los $f_x$ es periódica. Además, hay un uniforme obligado en los períodos de todas las $f_x$ (porque si algunos $s\in\{0,1\}^n$ parece infinitamente a menudo en $f_x|_\mathbb{N}$, lo que determina el período de $f_x$, y sólo hay un número finito de diferentes tales $s$). Así que hay sólo un número finito de diferentes $f_x$, lo $X$ es finito. Esta es una contradicción.
Por lo tanto cada una de las $A_n$ es no vacío. Por König del lema, se sigue que existe una infinita cadena de $s:\mathbb{N}\to\{0,1\}$ de manera tal que cada segmento inicial de $s$ es apropiado en el $A_n$. Pero entonces, dado que la $X$ está cerrado, los números de $y_0$ $y_1$ cuyo binario expansiones $0^\frown s$$1^\frown s$, respectivamente, están en $X$. Desde $T(y_0)=T(y_1)$, esto es una contradicción.
Por lo tanto no hay tal $X$ existe.
Amrit
Puntos
1
Para un pequeño $\theta$, cerrar el set $\{e^{ix} : x \in (-\theta, \theta)\}$ por debajo de las raíces cuadradas para obtener un conjunto abierto $U_{\theta}$. Si $\theta$ es pequeño, la medida de la $U_{\theta}$ es pequeña. Así que podemos aprovechar $A$ a ser el complemento de $U_{\theta}$.
Lo siento, esto sólo le da a ese $A$ es cerrado bajo cuadratura. De todos modos, si $A$ también es necesario para ser cerrado bajo las raíces cuadradas, entonces no hay tal subconjunto. Esto es debido a que $(1, 0)$ no es un punto de acumulación de a $A$ y por lo tanto para algunos $\theta >0$, $\{e^{ix} : x \in (-\theta, \theta)\}$ es discontinuo con $A$ y el cierre de este bajo cuadratura da todo el círculo.
