¿Qué es una aplicación del espacio dual?

Question

¿Alguien sabe alguna aplicación del espacio dual en física, química, biología, informática o economía?

^{(Me gustaría añadir eso al artículo alemán de wikipedia sobre el espacio dual).}

Answer 1

Cuando se trata de un espacio vectorial $X$ su doble $X^*$ es allí, si usted está dispuesto a aplicar o no. Es un hecho que la presencia de un producto escalar en $X$ tiende a ocultar la diferencia entre el$X$$X^*$. Este es el caso cuando se $X$ es nuestro geométrica o espacio físico ${\mathbb R}^3$ con la norma de "producto escalar", es decir, es un espacio euclidiano donde un ortonormales base ha sido elegido.

Un ejemplo: Cuando $f$ es una función escalar diferenciable de ${\bf x}$, para las "pequeñas" incremento de vectores ${\bf X}$ uno tiene $$f({\bf x}+{\bf X})=f({\bf x})+ \omega.{\bf X}+ o\bigl(|{\bf X}|\bigr)\qquad ({\bf X}\to{\bf 0})\ ,$$ donde $\omega.{\bf X}$ depende linealmente de ${\bf X}$. Es decir: El símbolo $\omega:=df({\bf x})$ denota un elemento de $X^*$. Ahora la disponibilidad de un producto escalar $\bullet$ $X$ permite escribir la ecuación anterior en la forma $$f({\bf x}+{\bf X})=f({\bf x})+ \nabla f({\bf x})\bullet{\bf X}+ o\bigl(|{\bf X}|\bigr)\qquad ({\bf X}\to{\bf 0})\ ,$$ donde $\nabla f({\bf x})$ indica el gradiente de $f$ ${\bf x}$ y es un auténtico vector en $X$.

Hay situaciones en la física o la economía, donde las variables no son "geométrica" variables $x_i$ pero $p$, $V$, $T$ para la presión, el volumen y la temperatura (o similar). En tal caso, no tiene sentido introducir un producto escalar de hacer la "norma" de un estado $s$ igual a $\|s\|:=\sqrt{p^2+V^2+T^2}$. Como consecuencia, una función lineal de las variables de estado $p$, $V$, $T$ es un auténtico elemento de $X^*$ y no puede ser representado por algunos "vector gradiente" pertenecientes al estado espacio de la $X$.

Answer 2

Primero de todo: creo que es imposible dar una respuesta completa a su pregunta. La razón es que el espacio dual es tan general y central de la idea de que se ubiquiteous en las matemáticas, la física y otras ciencias. Sólo quiero exagerar un poco si me dijo que tal vez se han preguntado ¿qué aplicaciones de espacios vectoriales .

Pero para dar algunas ideas:

1. Una buena manera de definir el espacio de la tangente de un colector es como el espacio dual del espacio cotangente. Esto es algo bastante abstracto, pero puede ser fácilmente transferido a otros entornos, por ejemplo, las variedades. Por ejemplo vectorial de los campos que se utilizan comúnmente en la física - dependen de esta.

2. En la física cuántica, las personas a menudo usan el "sostén" y "ket"-vector de la notación. Al final estos son sólo otros nombres para un vector y su doble.

3. Producto por un escalar $V\times V\to k$ (también de central, por ejemplo, la física) puede ser escrita como un isomorfismo $V\to V^*$. Muchas de las aplicaciones realmente sólo necesitan de forma no degenerada, que a su vez son inyectiva mapas de $V\to V^*$.

4. En optimización restringida a menudo se pasa desde el llamado primal problema de la doble problema. Un gran ejemplo de equipo siences son máquinas de vectores soporte. Después de algo de trabajo resulta que el "doble" de vectores (en el doble problema) son de hecho los vectores duales (en el sentido clásico) del espacio de datos. Este truco hace una gran diferencia en los cálculos.

Answer 3

El espacio dual se usa en la Lex-Milgran del lema, lo que garantiza la existencia de varias soluciones de PDE que describen movimientos, superficies mínimas, distribución de calor y otros.