Finalización de $ Q(i)$ con respecto al ideal primo (1+i)

Question

La finalización de $Q(i)$ con respecto al ideal primo (1+i) que está por encima de 2 es $Q_{2}(i)$ ,. Entonces, ¿qué pasa con la finalización de $Q(i)$ con respecto al ideal primo $(1-i)$ ? es lo mismo

y como $5=(2-i)(2+i)$ qué es la finalización de $Q(i)$ En $(2-i)$ y $(2+i)$ Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Desde $5=(2+i)(2-i)$ los únicos ideales primos por encima de $5$ son los ideales $(2\pm i)$ . Pero en una extensión de campos numéricos $L/K$ , usted tiene $[L:K] =\sum [L_w:K_v]$ la suma de todas las $w$ por encima de un $v$ . Aquí $v$ es la valoración 5-ádica y el grado global es 2, por lo que las dos terminaciones son $\mathbf Q_5$ . En realidad se trata del fenómeno llamado división total de un primo.

Las cosas son diferentes para la 2. Aunque $2 =(1+i)(1-i)$ no se trata de una verdadera descomposición primaria en $\mathbf Z[i]$ porque la relación $i(1-i)=1+i$ muestra que los dos factores $1\pm i$ difieren (multiplicativamente) en una unidad. De hecho, $2$ se descompone como $2=-i (1+i)^2$ lo que significa que $2$ es totalmente ramificado con índice de ramificación $2$ por lo que a fortiori el grado local es $2$ . De ello se desprende que la terminación en el primer $2$ es $\mathbf Q_2(i)$ .