Demuestra que esta secuencia contiene infinitamente muchos números compuestos.

Question

Deje que $a_1$ ser cualquier número. Crear una secuencia $a_1, a_2, a_3$ donde $a_n$ se forma añadiendo un dígito de 0 a 8 al final de $a_{n-1}$ . Demuestra que esta secuencia contiene infinitamente muchos números compuestos. ¿Qué pasa si permites el 9? ¿Puedes todavía garantizar que infinitamente muchos números compuestos deben ocurrir?

Answer 1

Supongamos que la secuencia sólo contiene números primos a partir de algún punto. Incluso podemos suponer que sólo está formada por números primos. Entonces nunca podemos añadir $0,2,4,6$ o $8,$ (sería divisible por $2$ ), ni $5$ (sería divisible por $5$ ). Esto deja $1,3$ y $7.$ Por lo tanto, el residuo módulo 3 no se modifica o se incrementa en $1.$

Como los números no pueden ser divisibles por $3$ esto significa que a partir de algún punto sólo podemos añadir un 3. De nuevo, podemos suponer que sólo añadimos 3s. Así que los números tienen la forma $$ a_n = 10^{n-1} a_1 + \frac{10^{n-1}-1}{3}. $$ Tenemos que demostrar que $3a_1$ divide $10^{n-1}-1$ infinitamente a menudo. Pero si $a_1$ y $10$ son primos relativos, esto se deduce del teorema de Fermat-Euler que implica $$ 10^{\varphi(3a_1)}-1\equiv 0 \pmod {3a_1}, $$ donde $\varphi$ es la función totiente de Euler. Si no es así, sustituimos $a_1$ por $a_2=10a_1+3.$

Answer 2

El teorema de los números primos nos dice que $$\pi(n) \sim \frac{n}{\log n}.$$ Es cierto que esto es bastante inexacto para los pequeños $n$ . Pero como $n$ cada vez más grande, se vuelve más preciso.

Así, por ejemplo, $$\pi(10^{20}) \sim \frac{10^{20}}{\log 10^{20}} \sim 2171472409516259138$$ y $$\pi(10^{20} + 10) \sim \frac{10^{20} + 10}{\log (10^{20} + 10)} \sim 2171472409516259138.$$ Esto sugiere que no hay primos entre $10^{20}$ y $10^{20} + 10$ . En efecto, el siguiente primo es $10^{20} + 39$ .

Esto es relevante para su pregunta porque $10a_n < a_{n + 1} < 10a_n + 9$ . Como $a_n$ es cada vez más largo, y añadir un dígito para hacer un primo es cada vez más difícil. Seguro que de vez en cuando te encuentras con números primos. Pero en su mayor parte, serán números compuestos sin importar el dígito que elijas añadir. Permitir que el dígito $9$ podría no hacer ninguna diferencia.

Para continuar con la $10^{19}$ Por ejemplo, digamos que usted agrega $1$ . Entonces $10^{20} + 1$ es divisible por $73$ y $137$ y un par de primos más que no tengo ganas de escribir. Y el siguiente primo después de $10^{21} + 10$ es $10^{21} + 117$ . Ya te haces una idea.