¿cómo podemos averiguar

Question

Tengo una pregunta acerca de las integrales impropias:

¿Cómo podemos encontrar $\lim_{n \rightarrow +\infty} \int_{1}^{n} \frac{\cos(nx)(x-1)}{\sqrt{\ln^3(x)(1+x^4)}}dx$?

$\textbf{Some effort:}$

Sabemos que $-1 \leq \cos(nx) \leq 1$, por lo que trataremos de sandwich:

$$-\lim_{n \rightarrow +\infty} \int_{1}^{n} \frac{(x-1)}{\sqrt{\ln^3(x)(1+x^4)}}dx \leq \lim_{n \rightarrow +\infty} \int_{1}^{n} \frac{\cos(nx)(x-1)}{\sqrt{\ln^3(x)(1+x^4)}}dx \leq \mbox{$\displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty} \int_{1}^{n} \frac{(x-1)}{\sqrt{\ln^3(x)(1+x^4)}}dx$}$$ El siguiente paso es deshacerse del logaritmo natural, que será mediante el cambio de variables y dejando $\ln(x)=u$. Pero esto hace que la situación empeore. Estoy interesado de usar de nuevo sándwich de la regla de logaritmo natural así. Pero no sé que $\ln(x) < ?$$\ln(x) > ?$$x \in [0,+\infty]$?

Puede usted por favor darme una idea?

Gracias!

Answer 1

Tenga en cuenta que la integral $$\int_1^{+\infty} {\frac{{x - 1}}{{\sqrt {(1 + {x^4}){{\ln }^3}x} }}dx}$$ converges absolutely, the only problematic point is $1,+\infty$. At $x=+\infty$, it converges because $$\int_{}^{+\infty} \frac{1}{x\ln^{3/2} x} dx$$ converges. You can easily show that it is convergent at $x=1$ demasiado.

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De ahora en adelante a denotar $(x-1)/\sqrt{(1+x^4)\ln^3 x}$ $f(x)$. A continuación, $$\lim_{n \to +\infty} \int_{1}^{n} f(x)\cos(nx) dx = \lim_{n \to +\infty} \int_{1}^{+\infty} f(x)\cos(nx) dx - \lim_{n \to +\infty} \int_{n}^{+\infty} f(x)\cos(nx) dx$ $ el primer límite tiende a $0$ por lema de Riemann-Lebesgue desde $f$ es absoluto convergente, para el segundo, simplemente nota que %#% $ #% por lo que el límite total es$$ \left| \int_{n}^{+\infty} f(x)\cos(nx) dx \right| \leq \int_{n}^{+\infty} |f(x)| dx \to 0$.