Me imagino la respuesta a esta pregunta es muy simple, pero no he podido localizarlo.
¿Puede cada anillo comutativo ser incrustada en un campo? Esto parece muy plausible, pues parece que sólo podríamos tener el «cierre» bajo inversas.
¡Gracias!
Respuestas
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lhf
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Un comutativo anillo puede ser embebido en un foro de campo es un dominio integral.
De hecho, si un anillo se puede incrustar en un campo entonces no puede tener cero divisores porque los campos no pueden tener divisores cero.
Por el contrario, cada dominio integral puede ser embebido en un campo, es decir, su campo de fracciones.
anomaly
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No. Todos los elementos de un campo distinto de cero es invertible; anillos comutativos pueden contener cero divisores.
La operación de "cierre" que hablas es la localización. En un dominio (conmutativa) $A$, localizar en $0$ da el campo de fracciones $\operatorname{Frac}(A)$ $A$, y el mapa canónico $A \to \operatorname{Frac}(A)$ es una incrustación. En general, la localización es un anillo más complicado que solo un campo.
M. Winter
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Deje $R$ ser un anillo conmutativo. Definir $\bar Q(R)=R\times (R-\{0\})$ como el conjunto de pares $(r,s)$$r,s\in R$$s\not=0$. Definimos la relación de equivalencia $$(r,s)\sim(r',s')\quad:\Leftrightarrow\quad rs'=sr'.$$ Definimos $Q(R):=\bar Q(R)/\!\!\sim$ y darle una estructura de anillo (denotando por $x$ la clase de equivalencia que contiene a $x$) a través de
$$(r,s)+(r',s')=(rs'+sr',ss'),\qquad (r,s)\cdot (r',s')=(rr',ss').$$
Este resulta ser bien definida si y sólo si $R$ fue integrante de dominio. A continuación, $Q(R)$ será un campo de $-$ el campo de fracciones. Creo que de $(r,s)\in Q(R)$ como la fracción $r/s$ o el elemento $rs^{-1}$. $R$ puede ser embebido en $Q(R)$ través $r\mapsto(rx,x)$ arbitrarias $x$. El cero y la unidad de $Q(R)$ $(0,x)$ $(x,x)$ respectivamente. Un elemento no nulo $(r,s)$ tiene el inverso $(s,r)$.
