¿Una función continua $f: [0,1] \cup [2,3] \to [5,6]$ ¿Existe?

Question

¿Una función continua $f: [0,1] \cup [2,3] \to [5,6]$ ¿Existe?

He estado intentando resolver este problema y se me ha ocurrido dicha función. Todavía soy nuevo en el concepto de la continuidad de una función y simplemente estoy muy desconcertado para responder si esta función es continua o no. Por un lado, intuitivamente, es difícil que una función sea más discontinua que ésta, pero al tratar de trabajar con la $\epsilon, \delta$ definición de continuidad, tiene un sentido intuitivo. ¿Podría ayudarme a decidir si esta función es continua o no? Una simple aclaración sería muy apreciada.
EDIT: Mi pregunta original no era precisa. $[5,6]$ se supone que es el rango de esta función.

Answer 1

Sí, por ejemplo, tome la función constante $f(x) = 5$

La función que ha proporcionado es también continua. Aunque pueda parecer discontinua porque la gráfica tiene dos componentes, la continuidad es una propiedad local de una función alrededor de cada punto de su dominio . Y cerca de cada punto de $[0,1]\cup [2,3]$ su función es continua. Cualquier salto que aparezca está fuera del dominio de la función, y por tanto no afecta a su continuidad.

Tenga en cuenta que ni siquiera necesitaba arreglar eso $f(1)=f(2)$ . Seguiría siendo continua con líneas de pendiente positiva en ambos componentes. No estoy seguro de que hayas arreglado la función para que coincida en los puntos finales porque pensabas que era necesario para la continuidad; no lo es.

Sin embargo, la función que has escrito es especialmente bonita, porque se puede reconocer como la restricción de una función de valor absoluto, que es manifiestamente continua.

En general, una función es continua en un dominio si es continua en cada componente conectado.

Answer 2

Otro ejemplo es este:

Considere $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dado por

$$f(x) = \frac{1}{3}x+5$$ Es continuo en $\mathbb{R}$ .

Ahora restríngalo a su dominio $[0,1] \cup [2,3]$ .

Restringir el dominio o el codominio de una función no afecta a su continuidad.

Answer 3

La función que ha proporcionado es realmente continua. Tome $\epsilon$ sea igual a $\delta$ y verás que la definición de continuidad se cumple en todos los puntos del dominio. Es mira no es continua a primera vista (porque el dominio no es un conjunto conexo), pero no hay violación de la definición de continuidad.

Verás con esa definición que si la función es continua por separado sobre cada componente conectada del dominio, entonces es continua sobre todo el dominio.

Answer 4

SUGERENCIA:

La suma y la multiplicación son operaciones continuas.

Las funciones $\mathbb R \times \mathbb R \to \mathbb R$ dado por $(x,y) \mapsto xy$ y $(x,y) \mapsto x+y$ son continuas.

¿Se pueden modificar estas funciones? ¿Qué hay de, por ejemplo , $(x,y) \mapsto \frac{1}{3}xy$ o $(x,y) \mapsto \frac{4}{3}x-\frac{3}{4}y$ ?

Answer 5

Toma $$f(x) =\frac{1}{2}(6-\left|2x-3\right|)$$