La comprensión Conceptual de los Brutos-Zagier teorema.

Question

El Bruto-Zagier papel de "puntos de Heegner y los derivados de la $L$-de la serie", es realmente computacional y duro a través de arado. Parece ser que es inútil para que se lea como tal, y uno debe buscar una mayor comprensión conceptual.

El más conceptual de los intentos que conozco son los siguientes:

$1$. El trabajo de Kolyvagin en Birch-Swinnerton-Dyer conjetura, en el que se re-demuestra parte de Gross-Zagier el uso de sistemas de Euler. El problema con esto es que algunos de los originales Bruto-Zagier aún se necesita para obtener los resultados en BSD conjetura(si entiendo las cosas correctamente. Por favor señale si me equivoco).

$2$. El volumen de Garmon y Zhang publicado por MSRI, en la cual buscan un $p$-ádico de la teoría. De nuevo esto se va lejos de la original complejo analítica caso. De nuevo por favor me corrija si estoy equivocado.

Así que me pregunto si alguien publica una mayor aproximación conceptual a la complejidad analítica Bruto-Zagier teorema. Agradecería cualquier referencia.

Answer 1

En mi actual (no muy profundo) de la comprensión, hay dos maneras posibles de hacer la prueba de Gross-Zagier más conceptual.

La primera es reconocer en cada uno de los términos de la ecuación de productos de términos locales que son locales lineal funcionales. Ahora, un famoso teorema de Saito y Tunnell estados que tales lineal funcionales vivir en un espacio vectorial de dimensión 1. Así que hay proporcional y el Bruto-Zagier cantidades para especificar el factor de proporcionalidad. Esto requiere una gran cantidad de teoría de la representación, pero creo que ahora este programa ha sido completado. El uso de Gross-Prasad conjeturas en lugar de Saito-Tunnell, GZ aparentemente puede ser extendido ampliamente.

La segunda es observar que el $p$-ádico variante de GZ es en realidad más fácil de probar (esto es debido a que $p$-ádico alturas factor de forma natural a través de la primera Bloch-Kato cohomology grupo). Conceptualmente, este es tal vez no es tan sorprendente porque los puntos de Heegner verificar la distribución de las relaciones de un sistema de Euler, por lo que son naturalmente vinculada a la $p$-ádico $L$-función. Por lo tanto, para demostrar que el Bruto-Zagier teorema, todo lo que hay que hacer es relacionar el especial valor de la derivada de la $p$-ádico $L$-función para el valor de la derivada de la compleja $L$-función. Pero aquí está el problema: por lo que yo sé, lo que demuestra que la derivada de la $p$-ádico $L$-función que interpola $p$-adically la derivada de la $L$-la función es más o menos equivalente a mostrar que el $p$-ádico altura de emparejamiento es no degenerada. Así que esto parece sin esperanza.

Answer 2

Algunos de los comentarios, demasiado extensa para caber en la caja de comentarios:

(1) Hay una bastante reciente revisión de al menos algunas partes de la prueba en el libro "puntos de Heegner y Rankin $L$-de la serie", MSRI Publ. 49. (Brian Conrad en particular, tiene un papel que hay en la remodelación de la deformación de la teoría de argumentos.)

(2) El teorema es un cálculo: uno calcula la altura de la Heegner punto, el uso de Nerón-Tate las alturas, y se refiere a la respuesta (suma de las contribuciones de cada lugar) a los correspondientes a la expresión para la derivada.

(3) es Kolyvagin del trabajo que demuestra que si el Heegner punto es distinto de cero, a continuación, se genera el Mordell-Weil grupo (hasta finito índice); así que si quieres la motivación para la verdad de Bruto--Zagier, usted puede pensar en él como una consecuencia de BSD + Kolyvagin. (Esto puede ser ahistórico, sin embargo.)

(4) Históricamente, Abedul fue el que calcula los puntos de Heegner en curvas elípticas, y encontró que eran generadores de la Mordell--Weil grupo (hasta finito índice) precisamente cuando el rango era uno. Esta fue una gran fuente de aliento para el Bruto (como se explicó en un punto cuando yo estaba en la escuela de posgrado), porque significaba que no debe ser una relación entre la derivada en 1 y la altura de la Heegner momento, y uno sólo tenía que encontrar.

(5) El arithmetico-partes de la geometría de Bruto--Zagier son maravillosas, yo no en todos piense en ello como inútil para su estudio. No he estudiado la analítica de las partes, pero sin duda son igual de maravilloso.

(6) Se podría empezar con el Crelle papel de Bruto--Zagier, que básicamente se trata de la caso del nivel uno. Desde el sistema modular de la curva de nivel uno tiene género 0, la altura es necesariamente cero, y así uno consigue una muy buena fórmula relativa a la suma de lo finito en las alturas de la arquímedes locales de altura. Y uno puede demostrar que la misma fórmula de otra manera, el uso de un caso especial de la analítica de los argumentos que en la configuración general calcular el de derivados. El hecho de que la misma fórmula se obtiene de estas dos maneras es un caso especial de la general Bruto--Zagier fórmula; pero puede ser más sencillo para entender los dos lados y la comparación entre ellos en este nivel de una configuración.

(7) tal y Como yo lo entiendo, Kato no dice nada en la analítica, la clasificación de un caso. Para BSD en este caso, uno necesita Bruto--Zagier además de Kolyvagin.

Answer 3

De hecho, hay una comprensión conceptual de este a través de "incoherente Siegel-Weil Fórmula",cft S. Kudla `s papeles.Véase también la última sección de reciente preprint de Gan-Bruto-Prasad.