Hmm... ¿por Qué es tan complicado?
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\def\lfrac#1#2{{\large\frac{#1}{#2}}}
$
$\dfrac12 + \dfrac12 + \dfrac14 + \dfrac14 + \dfrac18 + \dfrac18 + \cdots = 2$.
$\dfrac12 + \dfrac14 + \dfrac18 + \cdots = 1 < 2$. (Elija sólo uno de cada par.)
Mejor aún, para todos los reales positivos $r < 2$, hay una cantidad no numerable de subserie que convergen a ella! Aquí es un boceto de la prueba. Primero, escoja algunos subserie convergentes a $r$. Si es finito, sustituir el último plazo$\lfrac1{2^k}$$\lfrac1{2^{k+1}}+\lfrac1{2^{k+2}}+\lfrac1{2^{k+3}}+\cdots$. Así, podemos asumir la subserie tiene un número infinito de términos. Ahora bien, si la subserie omite algunas término de un número infinito de pares de la serie original, entonces es evidente que estamos hecho. Si no, la subserie incluye cada término a partir de cierto punto en adelante, pero debe omitir algunas plazo antes de eso, y de ahí que podamos cambiar la subserie a utilizar la última omitido plazo en lugar de uno de cada pareja después de que. Ahora tenemos una subserie con infinidad de términos que no vienen en pares, y, por tanto, como antes hemos terminado!
Si desea una secuencia con distintos términos, que es fácil de obtener a partir de la anterior. Basta con sustituir cada par $(\lfrac1{2^k}+\lfrac1{2^k})$$(\lfrac1{2^k}+\lfrac1{2^k·7}+\lfrac6{2^k·7})$. Básicos de la teoría de números, no hay dos racionales de la forma $\lfrac{6^a}{2^k·7^b}$ puede ser el mismo, a menos que $k,a,b$ son los mismos. A continuación, utilice el mismo argumento como el anterior, el tratamiento de la $(\lfrac1{2^k·7}+\lfrac6{2^k·7})$ el mismo que $\lfrac1{2^k}$ en el original.
