Es la diferencia de dos irrationals que son cada uno de los contenidos bajo una sola raíz cuadrada irracional?

Question

Es $ x^\frac{1}{3} - y^\frac{1}{3}$ irracional, dado que tanto $x$ $y$ no son perfectos cubos, son distintos y son números enteros (es decir, los dos raíces cúbicas son el rendimiento irracional respuestas)?

Entiendo que la suma/diferencia de dos irrationals puede ser racional (ver este hilo: Es la suma y diferencia de dos irrationals siempre irracional?). Sin embargo, si mi irrationals están contenidas en virtud de una raíz (así, por ejemplo, $3^\frac{1}{3}$ e no $2^\frac{1}{2} + 1$), se puede generalizar para mostrar que $ x^\frac{1}{p} - y^\frac{1}{q} $ es irracional, donde por supuesto $x$ $y$ no son poderes de $p$ $q$ respectivamente?

Answer 1

Si $ x $ $ y $ no son perfectos cubos, entonces los polinomios $ T^3 - x $ $ T^3 - y $ son irreducibles en $ \mathbf Q[T] $. Considere la posibilidad de la división de campo de $ L $ de esta familia de más de $ \mathbf Q $. Deje $ G = \textrm{Gal}(L/\mathbf Q) $, y considerar el estabilizador de subgrupos $ G_x, G_y $ $ x^{1/3}, y^{1/3} $ respectivamente. Por isomorfismo de extensión, las diferentes conjugaciones de $ x $ están en correspondencia con los diferentes cosets de $ G_x $$ G $, e igualmente para $ y $. Por lo tanto, obtenemos

$$ \textrm{Tr}_{L/\mathbf Q}(x^{1/3}) = \sum_{\sigma \in G} \sigma(x^{1/3}) = |G_x|( x^{1/3} + \zeta x^{1/3} + \zeta^2 x^{1/3} ) = 0 $$

donde $ \zeta $ es una primitiva de la tercera raíz de la unidad, y de la misma manera por $ y^{1/3} $. Por lo tanto, $ x^{1/3} - y^{1/3} $ se encuentra en el núcleo del campo de seguimiento de $ L/\mathbf Q $. Pero el rastro de un número racional es un número entero distinto de cero múltiples de la misma, por lo tanto, el único número racional en el núcleo es cero, por lo tanto, si este número es racional debe ser cero, y debemos tener $ x = y $.

El argumento puede ser adaptado para el caso con el primer(!) $ p, q $ utilizando el criterio de que $ T^p - x $ es irreducible en a $ K[T] $ para un campo $ K $ si y sólo si $ x $ no es perfecto, $ p $th poder. De hecho, un fuerte resultado es verdadero: $ x^{1/n} $ siempre se encuentra en el núcleo del campo de seguimiento tan largo como $ x $ no es perfecto, $ n $th poder (no primalidad necesario.) Para esto, vea el Teorema 3 en este artículo.

Answer 2

Indicar las raíces cúbicas por $X,Y$, por lo que el$X^3=x$$Y^3=y$$x,y\in \mathbb Z$.

Supongamos que, con un poco de mayor generalidad, que tenemos $X-Y-R=0$ donde $X^3,Y^3,R\in \mathbb Q$.

Primero nos quiere argumentar que $XY\in \mathbb Q$. Para ello, observe la identidad:

$$X^3-Y^3-R^3-3XYR=(X-Y-R)(X^2+Y^2+R^2+XY+XR-YR)$$

Esto implica inmediatamente que $$3XYR=X^3-Y^3-R^3$$ which, as desired, implies that $XY\in \mathbb Q$.

Pero entonces tenemos dos números reales, $X,Y$ tanto $X-Y$ $XY$ son racionales. De ello se desprende que $X,-Y$ ambos satisfacen una ecuación cuadrática con coeficientes racionales, es decir, \begin{align} X^2 - (X-Y)X -XY &= 0,& Y^2 +(X-Y)Y -XY&=0. \end{align} Pero esto no es posible, como $Z^3-x=0$ es el polinomio mínimo para la raíz cúbica de a$x$$\mathbb Q$.