Seguimiento de la $n$-th simétrica poder de un lineal mapa

Question

Supongamos $V$ es un espacio vectorial sobre$k$$\dim(V) = N$. Deje $A \in\operatorname{End}(V)$. Deje $\wedge^n A \in \operatorname{End}(\wedge^n V)$ donde $\wedge^n$ $n$- ésima potencia exterior. Estoy teniendo problemas para encontrar una expresión para $\operatorname{tr}(\wedge^n A)$. El caso de al $A$ es diagonalizable se resuelve aquí: Simétrica y exterior del poder de representación

Mis intentos hasta ahora:

1. El uso de $\phi: \wedge^n V \to V^{\otimes n}$ donde $\left[v\right] \overset{\phi}{\mapsto} \sum_{\sigma \in S_n}\operatorname{sign}(\sigma) \sigma(v)$ (donde $\left[v\right]$ denota la clase de congruencia de $v \in V^{\otimes n}$$\wedge^n V$).
2. Trate de anotar la restricción del mapa $A^{\otimes n}$ $\phi(\wedge^n A)$como una matriz. Esto parece complicado, y yo estoy atrapado en averiguar todos los índices.

Es allí una manera más natural para encontrar $\operatorname{tr}(\wedge^n A)$ sin escribir la matriz?

Answer 1

Recordar que si $\beta = \{e_1,\dotsc,e_N\}$ es una base para$V$, $\wedge^n \beta := \{e_{i_1} \wedge \cdots \wedge e_{i_n}\}_{i_1 < \cdots < i_n}$ es una base para $\wedge^n V$. Entonces, si escribimos $$ Un e_j = \sum_{i=1}^N A_{ij}e_i, $$ tenemos que $$ (\wedge^n)(e_{j_1} \wedge \cdots \wedge e_{j_n}) = Ae_{j_1} \wedge \cdots \wedge Ae_{j_n}\\ = \left(\sum_{i_1=1}^N A_{i_1 j_1} e_{i_1} \right) \wedge \cdots \wedge \left(\sum_{i_n=1}^N A_{i_n j_n} e_{i_n} \right)\\ = \sum_{i_1 < \cdots < i_n} \left( \sum_{\pi \en S_n} (-1)^\pi A_{i_{1}j_{\pi(1)}} \cdots A_{i_{n}j_{\pi(n)}}\right) \; e_{i_1} \wedge \cdots \wedge e_{i_n}\\ = \sum_{i_1 < \cdots < i_n} [A]_\beta(i_1,\dotsc,i_n;j_1,\dotsc,j_n) \; e_{i_1} \wedge \cdots \wedge e_{i_n}, $$ donde $T(i_1,\dotsc,i_n;j_1,\dotsc,j_n)$ indica el $n$-ésimo orden menor de $T \in M_N(F)$ correspondiente a la $n$ filas $i_1 < \dotsc < i_n$ $n$ de columnas $j_1 < \dotsc < j_n$. Por lo tanto, $[\wedge^n A]_{\wedge^n\beta}$ es precisamente la matriz de $n$-ésimo orden de los menores de $[A]_\beta$, y, en particular, $$ \operatorname{Tr}(\wedge^n) = \sum_{i_1 < \cdots < i_n} [A]_\beta(i_1,\dotsc,i_n;i_1,\dotsc,i_n) = \sum_{i_1 < \cdots < i_n} \sum_{\pi \en S_n} (-1)^\pi A_{i_{1}i_{\pi(1)}} \cdots A_{i_{n}i_{\pi(n)}}. $$

El teórico y el resultado de todo esto es que el $\wedge^n A$ es la coordenada libre, exterior algebraicas avatar de la matriz de $n$-ésimo orden de los menores, así como a $\wedge^N A$, en particular, es la de coordinar libre, exterior algebraicas avatar de la determinante. De hecho, la adjunta de a $A$ puede ser definido, en coordinar libre, en el exterior-algebraica de términos, como el único operador $A^{\text{adj}} \in \operatorname{End}(V)$ tal que $$ \forall v \V, \; \omega \en \wedge^{N-1}V, \quad A^{\text{adj}}v \wedge \omega = v \wedge (\wedge^{N-1}) (\omega), $$ y usted puede demostrar que $$ A^{\text{adj}} = \det(A)1_V, $$ dando la traducción al coordinar libre de los términos de la fórmula para la inversa de una matriz invertible.