Demuestra que la matriz no es diagonalizable

Question

Para cualquier real, $a, b$ demostrar que

$$D = \begin{bmatrix} a & 1\\ 0 & b \end{bmatrix}$$ Es no diagonalizable.

Tengo que los valores propios son $\lambda_1 = a, \lambda_2 = b$

Sin embargo, para $a \ne b$ Hay $2$ valores propios distintos por lo que $D$ debe ser diagonalizable ¿no?

Entonces, ¿qué pasa con $a= b$ ?

Answer 1

En el caso de que $a = b$ tenemos sólo un valor propio $\lambda = a$ . Para que la matriz sea diagonalizable, la multiplicidad algebraica (denotémosla $\mu$ ) del valor propio $\lambda$ , donde $\mu = 2$ en nuestro ejemplo, debe sea igual a su multiplicidad geométrica $\gamma.$

Sabemos por definición que $ \gamma = \dim \ker (D-\lambda I),$ con $$\ker (D-\lambda I) = \{ x \in \mathbb R^2: (D-\lambda I)x = 0\}.$$ Sin embargo: $$D-\lambda I = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}.$$

Podemos notar fácilmente que $\operatorname{rank} (D-\lambda I) = 1 \implies \dim \ker (D-\lambda I) = \gamma = 1$ (según el teorema de la nulidad ).

Así, tenemos que $2 = \mu \neq \gamma = 1.$ Así, siempre que $a=b( = k)$ , matriz $D$ es no diagonalizable, independientemente del valor de $k$ .

Answer 2

$$ \mathbf{A} = \left( \begin{array}{cc} a & 1 \\ 0 & b \\ \end{array} \right) $$ Valores propios $$ \lambda \left( \mathbf{A} \right) = (a, b) $$ Vectores propios: $$ v_{1} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right), \qquad v_{2} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ b-a \end{array} \right) $$

(Buena observación de @Joonas Ilmavirta.)