$B$ es un conjunto de Borel, implica $f(B)$ es un conjunto de Borel.

Question

Tengo este ejercicio:

Supongamos $f$ es una verdadera valores de función continua en $[a,b]$. Mostrar que $f(B)$ es un conjunto de Borel para cada subconjunto de Borel $B$$[a,b]$.

Sugerencia: Considerar la colección de $M$ de todos los subconjuntos de a $A$ $[a,b]$ para los que $f(A)$ es un conjunto de Borel. Mostrar que $M$ es una sigma-álgebra.

Estoy luchando un poco. La sugerencia me dice que mire en:

$M=\{A\mid f(A) \text{ is Borel}\}$, y demostrar que este es un sigma álgebra. Tengo que $\emptyset \in M$, y que M es cerrado bajo contables de los sindicatos. Pero, ¿cómo puedo obtener cerrado bajo complementa?, Me refiero a $A \in M \rightarrow A^c \in M$?, el problema es que sólo tenemos $f(A)^c=f(A^c)$ si f es bijective.

Y para terminar la prueba también necesito que $f(O)$ es borel para cada conjunto abierto, pero ¿cómo puedo conseguir esto?

Answer 1

La declaración de que quieren demostrar que está equivocado: No es un conjunto de Borel $B \subseteq [0,1]^2$ de manera tal que su proyección $\pi_1[B]$ en la primera coordenada no es Borel (ver por ejemplo aquí). Ahora vamos a $\gamma \colon [0,1] \to [0,1]^2$ un continuo en el mapa, y el $f := \pi_1 \circ \gamma \colon [0,1]\to [0,1]$. A continuación, $f$ es continua, $A := \gamma^{-1}[B]$ es Borel, pero $$ f[A] = \pi_1[\gamma\gamma^{-1}[B]] = \pi_1[B] $$ no es.