La diferenciación en el álgebra matricial

Question

Describir todos diferenciación en el álgebra matricial $M_n(F)$ más de una asociativo anillo conmutativo con identidad $F$

Así como entiendo que la tarea que me han notación de Leibniz, que dice que toda diferenciación debe satisfacer $D(F,G) = F*D(G)+D(F)*G$. También tenemos la diferenciación que se parece a $D_A(B) = A*B-B*A$. Así que para describir que debo encontrar la forma de la matriz de Un aspecto. Pero, ¿cómo hacer eso?

Answer 1

Deje $Z$ ser la matriz de $M_n(F)$ tal que $Z$ sólo contiene el valor cero de $F$ en todas partes.

Deje $E_{i,j}$ ser la matriz de $M_n(F)$ tal que $E_{i,j}$ contiene sólo la identidad de $F$ $(i,j)$ y el cero de $F$ en todas las demás.

Estamos buscando a $D : M_n(F) \rightarrow M_n(F)$ tal que \begin{align} D(A+B)=&\;D(A)+D(B) & (1)\\ D(AB)=&\;AD(B)+D(A)B & (2) \end{align}

1. Mostrar que $D(Z)=Z$ (con $(2)$).
2. Mostrar que $\forall i\; D(E_{i,i})=Z$ (con $(2)$$E_{i,i}=E_{i,i}.E_{i,i}$$Z=E_{i,i}.E_{j,j}$$i\neq j$).
3. Mostrar que $\forall i,j\;D(E_{i,j})=c_{i,j}.E_{i,j}$, para algunas de las $c_{i,j}\in F$ (con $(2)$$E_{i,j}=E_{i,i}.E_{i,j}=E_{i,j}.E_{j,j}$).
4. Mostrar que $\forall i,j,k\; c_{i,j}+c_{j,k}=c_{i,k}$ (con $(2)$$E_{i,k}=E_{i,j}.E_{j,k}$).
5. Mostrar que $D$ está totalmente definido por $c_{i,i+1}$ (y (1)), y un $D$ es de hecho una diferenciación (utilizando (1), (2) y los resultados anteriores).