Estoy atascado en el siguiente problema: dada la siguiente Volterra integral de la ecuación no homogénea: $$\phi(x)=\exp(-x)+\lambda\int_0^x\frac{1}{x^2+t^2}\phi(t)dt$$ es posible resolver dada la restricción: $$\lim_{x\to\infty}\phi(x)=\alpha$$ donde $\alpha$ es una constante ($\alpha\in R$) y $\lambda$ un parámetro desconocido? Estoy buscando la forma cerrada expresiones de $\phi(x)$. Gracias.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Did
Puntos
1
Cualquier solución de $\phi$ converge a cero en el infinito.
Para ver esto, observe que $\displaystyle\int_0^x\frac{\mathrm dt}{x^2+t^2}\leqslant x^{-1}$ por cada $x\gt0$ por lo tanto, para cada solución de $\phi$ y cada $x\gt0$, $|\phi(x)|\leqslant\mathrm e^{-x}+\lambda x^{-1}\|\phi\,\mathbf 1_{[0,x]}\|_\infty$. Desde $\mathrm e^{-x}\to0$ $\lambda x^{-1}\lt1$ por cada $x$ lo suficientemente grande, esto demuestra que $|\phi(x)|\leqslant\frac12\|\phi\,\mathbf 1_{[0,x]}\|_\infty$, dicen, para cada $x$ lo suficientemente grande. Por lo tanto, $\|\phi\,\mathbf 1_{[0,x]}\|_\infty$ se mantiene constante después de un tiempo, que es, $\|\phi\|_\infty$ es finito.
Ahora, $|\phi(x)|\leqslant\mathrm e^{-x}+\lambda x^{-1}\|\phi\|_\infty\to0$ al $x\to+\infty$, por lo tanto $\phi(x)\to0$ al $x\to+\infty$. (Y es cierto, por ejemplo, $x\mapsto x\phi(x)$ es limitada.)
Frew
Puntos
133
Si $\varphi$ tiene un límite en $+\infty$, entonces creo que este límite es $0$. Para demostrarlo, permítanme considerar $I(x)=\displaystyle\int_0^x\frac{1}{x^2+t^2}\varphi(t)dt$, y hacer el cambio de variable $u = t/x$:
$I(x) = \displaystyle\int_0^x \frac{1}{x^2}\frac{1}{1+(\frac{t}{x})^2}\varphi(t) dt = \frac{1}{x}\int_0^1\frac{1}{1+u^2}\varphi(ux)du$.
Supongamos ahora que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\varphi(x) = \alpha$.
Por el teorema de la convergencia dominada, tenemos $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} I(x)= 0$. (debido a que $\int_0^1\frac{1}{1+u^2}\varphi(ux)du \rightarrow \alpha\arctan(1)$)
Así que tenemos $\alpha = \displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\varphi(x) = 0+\lambda\times 0 = 0$.
Esto no proporciona un cerrado fórmula para $\varphi$, pero demuestra que si se tiene un límite, entonces este límite es $0$.
Esta ecuación puede ser fundido en un Fredholm-como la integral de la ecuación. Esto puede ser visto de la siguiente manera $$ \phi(x)=e^{-x}+\frac{\lambda}{x^2}\int_0^x\frac{1}{1+\frac{t^2}{x^2}}\phi(t)dt $$ y cambiar la integración de la variable $y=\frac{t}{x}$. Estamos suponiendo que existe y es finito el límite de $\lim_{x\rightarrow 0}\phi(x)$ después de esta variable de cambio. Entonces $$ \phi(x)=e^{-x}+\frac{\lambda}{x}\int_0^1\frac{1}{1+y^2}\phi(xy)dy. $$ Esto da lugar a idéntica conclusión como en las otras respuestas que $\lim_{x\rightarrow\infty}\phi(x)=0$.
Un posible enfoque para resolver esta ecuación es por integración por partes y truncar en una iteración dada. Así, una primera integración daría $$ \phi(x)=e^{-x}+\frac{\lambda}{x}\left[\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)\phi(x)-k\pi\phi(0)\right]+R(x) $$ siendo el resto $$ R(x)=-\lambda\int_0^1 dy\arctan y\phi'(xy) $$ para ser evaluado después de la solución de la anterior ecuación algebraica. La mejora de la corrección se da a través de un primer fin de la educación a distancia y así sucesivamente.
