Podemos comprobar que $x=125,162,343$ son las raíces de la ecuación $(x-105)(x-210)(x-315)=2584x$ . Mi pregunta es, ¿podrías encontrar cinco enteros positivos $a,b,c,d,e$ que $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=ex$ tiene cuatro raíces enteras positivas? Gracias de antemano.
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Tito Piezas III
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A. Se puede dar una solución paramétrica a,
$$(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = ex$$
tal que $a,b,c,d$ y las cuatro raíces $x_i$ son todos enteros positivos como,
{ $a,b,c,d$ } = { $2n,\; 2n+1,\; (n+1)(n+3),\;2(n+1)(n+2)$ }, y $e = n(n-1)(n+1)(n+2)(2n+3)$
b. En general, este problema cuártico se puede resolver con dos cuadráticas. Hay que encontrar seis enteros positivos $a,b,c,d,p,q$ que obedecen,
$(a-p)(b-p)(c-pq)+p(a-p)(1-q)(c-dq)+p(1-q)(b-dq)(c-dq)=0\tag{1}$
una cuadrática en $d$ tal que..,
$abc-pqx(a+b+c+d-p-dq-x)=0\tag{2}$
una cuadrática en $x$ tiene raíces enteras positivas. Entonces las cuatro raíces de,
$$(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = \frac{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}{p}x\tag{3}$$
son $p,dq,x_1, x_2$ donde el $x_i$ son las dos raíces de (2). Si estas cuatro raíces son enteras, entonces la RHS de (3) obviamente también es un número entero.
Prueba : Factor de salida $(x-p)$ de (3) y sustituyendo $x = dq$ dará lugar a (1). Para las otras dos raíces, elimine $x$ entre (2) y (3), y obtendrás también (1).
P.D. Es bastante fácil para Mathematica para encontrar pequeños $a,b,c,d,p,q$ lo que me llevó a la parametrización anterior. Sin embargo, hay que evitar soluciones triviales como,
$$(a-p)(b-p)(c-p)(d-p)(a-dq)(b-dq)(c-dq)(q-1) = 0$$
