Cómo probar esta integral la desigualdad $6\left(\int_{0}^{1}f(x)dx\right)^2\le 1+ 8\int_{0}^{1}f^3(x)dx$

Question

Deje $f$ positivo, con valores,concavidad de la función en $[0,1]$,Demostrar que $$6\left(\int_{0}^{1}f(x)dx\right)^2\le 1+ 8\int_{0}^{1}f^3(x)dx$$

Deje $$A=\int_{0}^{1}f^3(x)dx,B=\left(\int_{0}^{1}f(x)dx\right)^2$$ $$\Longleftrightarrow 6B\le 1+8A$$ deje $$F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt$$ $$F(x)=x\int_{0}^{1}f[ux+(1-u)\cdot 0]du\ge x\int_{0}^{1}[uf(x)+(1-u)du=\dfrac{xf(x)}{2}+\dfrac{x}{2}$$

Tal vez este problema cuerpo puede utilizar de Cauchy-Schwarz desigualdad para resolverlo,Gracias

Answer 1

Deje $c=\int_0^1 f(x)\,dx$$g=f/c$, lo $\int_0^1 g(x)\,dx=1$. A continuación, por parte del Titular de la desigualdad, $$ 1\le \left(\int_0^1 g(x)^3\,dx\right)^{1/3}\left(\int_0^1 1^{3/2}\,dx\right)^{2/3} . $$ Por lo tanto,$\int_0^1 f(x)^3\,dx=c^3\int_0^1g(x)^3\,dx\ge c^3$, y $$ 8\int_0^1 f(x)^3\,dx + 1-6\left(\int_0^1 f(x)\,dx\right)^2\ge 8c^3+1-6c)^2 =: h(c). $$ Para $c>0$ el lado derecho se minimiza cuando se $0=h'(c)=24c^2-12c$, lo $c=1/2$ (señalando $h'(c)<0$$c<1/2$$h'(c)>0$$c>1/2$). Así $$h(1/2)=8(1/2)^3+1-6(1/2)^2=1/2\le h(c)$$ for all $c>0$. En realidad, luego se sigue
$$ 6\left(\int_0^1 f(x)\,dx\right)^2 \le \frac12 + 8\int_0^1f(x)^3\,dx. $$ La concavidad de $f$ no es necesario.