Demostrar que no existe analítico $f$ tal que $f(z) = 1/\bar{z}$ sobre el límite

Question

Me estoy haciendo un poco de auto-estudio en el análisis complejo, y llegó a la siguiente pregunta:

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Deje $D(a,1) \subset \mathbb{C}$ ser el disco de radio $1$ con el centro en $a \in \mathbb{C}$, y deje $\partial D(a,1)$ ser el límite de $D(a,1)$. Demostrar que $|a| <1$ si y sólo si existe una función de $f$ analítica en $D(a,1)$ y continua hasta el $\partial D(a,1)$ tal que $f(z) = 1/\bar{z}$$z \in \partial D(a,1)$.

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No sé cuál es el área de la teoría a intentar aplicar aquí. Sé que $|a| <1$ fib $\; 0 \in D(a,1)$, y sé que la función de $1/\bar{z}$ está en ninguna parte analítica. Sin embargo, no veo cómo se llega a la conclusión deseada.

Gracias.

Answer 1

Si usted sabe acerca de la armónica de funciones, entonces usted puede utilizar el principio del máximo en las partes real e imaginaria de $f(z) - {1 / \bar{z}}$ mostrar que si $a > 1$, entonces si ese $f(z)$ existido $f(z)$ tendría que ser ${1 / \bar{z}}$ todos los $z$.

Si $a < 1$, yo uso una construcción explícita como Henning Makholm sugiere.