Teorema de Berry-Esseen con corrección de continuidad

Question

Dadas variables aleatorias independientes pero no idénticas $X_1, X_2, \ldots ,X_n$ con $E[X_i]=0,$ $E[X_i^2]=\sigma_i^2=1$ y terceros momentos absolutos finitos $\rho_i=E[|X_i|^3].$ Dejemos que $$S_n = {\sum_{i=1}^n X_i}$$ con cdf $F_n.$ Entonces, a partir del teorema de Berry_Esseen podemos acotar el error en la estimación de $F_n$ con una aproximación normal: $$\left|F_n(x) - \Phi \left( {{x} \over {\sqrt{n}}} \right) \right| \leq 0.56 \sum_{i=1}^n \rho_i,$$ donde $\Phi(x)$ es la cdf normal estándar. [Lo anterior está ligeramente modificado de la Wikipedia].

Ahora supongamos que el $X_i$ son discretos, tomando valores enteros. En la práctica, aplicaríamos una corrección de continuidad a la aproximación, utilizando $$F_n(x) \approx \Phi \left( { { {{x+{{1} \over {2}}}} } \over {\sqrt{n}}} \right).$$

La corrección de la continuidad está destinada a proporcionar una mayor precisión. ¿Puede cuantificarse esto? Es decir, ¿existe una desigualdad de Berry-Esseen de la forma $$\left| F_n(x) - \Phi \left( { { {{x+ {{1} \over {2}}}} } \over {\sqrt{n}}} \right) \right| \leq k \sum_{i=1}^n \rho_i \ \ ?$$

Answer 1

Bueno, si $S_n$ es discreto, entonces tenemos $F_n(x)=F_n(x+\frac12)$ para $x\in \mathbb Z$ en cuyo caso recuperamos el mismo límite de Berry-Esseen para la corrección de continuidad que sin ella: $$\left| F_n(x)-\Phi\left(\frac{x+\frac12}{\sqrt n}\right)\right| = \left| F_n\left(x+\frac12\right)-\Phi\left(\frac{x+\frac12}{\sqrt n}\right)\right| \leq .56\sum_{i=1}^n \rho_i$$ ¿Es esto lo que buscabas? ¿O querías demostrar que la corrección de continuidad permite una mejora estricta de la desigualdad de Berry-Esseen?