Problema de dos polinomios

Question

Supongamos que existe un camino $g(t) = (p(t), q(t))$ en un plano donde $p$ y $q$ son polinomios. ¿Hay siempre un polinomio $f(x,y)$ diferente de cero polinomio tal que la imagen de $g$ está contenido en el conjunto $\{(x,y) | f(x,y) = 0\}$ ?

Answer 1

Dejemos que $f(x,y)$ sea el resultante de $p(t) - x$ y $q(t) - y$ con respecto a $t$ .

Answer 2

No me resisto a dar una solución elemental. Sea $n,m$ los grados de los polinomios $p,q$ . Sea $K$ un número entero. Existe a priori $(K+1)^2$ polinomios de la forma $p^k q^l$ con $0\leq k\leq K$ y $0\leq l\leq K$ . Pero el grado de dicho polinomio es $kn+lm\leq K(n+m)$ . Por tanto, pertenecen a un espacio vectorial de dimensión $K(n+m)+1$ . Para grandes $K$ tenemos $(K+1)^2>K(n+m)+1$ y los monomios $p^kq^l$ debe ser dependiente sobre el campo base, por lo que existe $f(x,y)$ no $0$ tal que $f(p(t),q(t))=0$ .

Answer 3

Puede ampliar $g$ a un mapa racional $G:\mathbb P^1\dashrightarrow \mathbb P^2 $ que es en realidad un morfismo (cf. Hartshorne Ch. I, Prop.6.8).
La imagen de $G$ es por tanto una curva algebraica (suponiendo que $p,q$ no son ni ambas constantes), que tiene una ecuación polinómica $F(x,y,z)=0$ y la imagen de $g$ por lo que tiene la ecuación $f(x,y)=F(x,y,1)=0$ .
Obsérvese cuidadosamente que la imagen de un morfismo $\mathbb C^2\to \mathbb C^2: z\mapsto (p(z),q(z))$ es no una subvariedad cerrada de $\mathbb C^2$ en general.

Moral
La geometría algebraica es el arte de no calcular, así como la teoría de Galois es el arte de no resolver ecuaciones polinómicas :-)

Answer 4

Le sugiero encarecidamente que eche un vistazo a la obra de Cox, Little y O'Shea Ideales, variedades y algoritmos En el capítulo 3, "Eliminación", se trata exactamente este problema, en particular en $\S3$ Implicitación. El resultado principal es el siguiente teorema.

Teorema 1 (Implicitación de polinomios) Si $k$ es un campo infinito, sea $F: k^m \to k^n$ sea la función determinada por la parametrización polinómica \begin {align*} x_1 &= p_1(t_1, \ldots t_m) \\ &\ \, \vdots\\ x_n &= p_n(t_1, \ldots , t_m) \N, . \end {align*} Dejemos que $I = \langle x_1 - p_1, \ldots, x_n - p_n \rangle$ y que $I_m = I \cap k[x_1, \ldots, x_n]$ sea el $m^\text{th}$ ideal de eliminación. Entonces $\mathbb{V}(I_m)$ es la variedad más pequeña en $k^n$ que contiene $F(k^m)$ .

Se puede calcular un Base de Gröbner $G$ para el ideal de eliminación, y cualquier polinomio $f \in G$ que no implique la $t_i$ satisfará su condición.

Así que en tu caso, si calculas una base de Gröbner para el ideal $\langle x - p(t), y - q(t) \rangle \trianglelefteq k[x,y,t]$ con respecto a la ordenación monomial lexicográfica $t > x > y$ encontrará su deseada $f$ .