¿Por qué no podemos utilizar implicación para el cuantificador existencial?

Question

No estoy muy seguro de que realmente entiendo por QUÉ tengo que usar implicación para la cuantificación universal, y conjuntamente para la cuantificación existencial.

Deje $F$ ser el dominio de las frutas y

$$A(x) : \text{is an apple}$$

$$D(x) : \text{is delicious}$$

Vamos a decir: $$\forall{x} \in F, A(x) \implies D(x)$$ Es correcto y significa que todas las manzanas son excelentes.

Mientras que, $$\forall{x} \in F, A(x) \land D(x)$$ es incorrecto debido a que este sería decir que todas las frutas son manzanas y delicioso que está mal.

Pero cuando se trata del cuantificador existencial: $$\exists{x} \in F, A(x) \land D(x)$$ Es correcto y significa que hay algo de apple que es delicioso.

También, $$\exists{x} \in F, A(x) \implies D(x)$$ Es incorrecto, pero no puedo decir por qué. A mí me dice que hay algunas frutas que si se trata de una manzana, es delicioso.

No puedo decir la diferencia en este caso, y por qué el segundo caso es incorrecta?

Answer 1

A mí me dice que hay algunas frutas que si se trata de una manzana, es delicioso.

Esto es absolutamente correcto. Existe una fruta que si es una manzana, entonces es delicioso. Deje $x$ ser una fruta. Tenemos dos casos de lo $x$ puede estar aquí:

• $x$ es una manzana. A continuación, $x$ es delicioso. Esta es la $x$ usted está buscando.
• $x$ no es una manzana. Ahora la declaración de la "si $x$ es una manzana, a continuación, $x$ es delicioso" automáticamente se cumple. Desde $x$ no es una manzana, la conclusión no importa. La declaración es vacuously verdadero.

Así que la declaración $\exists{x} \in F, A(x) \implies D(x)$ no logra capturar con precisión los valores deseados de $x$, es decir, las manzanas son deliciosas, porque también incluye otras frutas.

Answer 2

No estoy muy seguro de que realmente entiendo por QUÉ tengo que usar implicación para la cuantificación universal, y conjuntamente para la cuantificación existencial.

La modificación de su análisis un poco, vamos a $A$ el conjunto de las manzanas, y $D$ el conjunto de cosas deliciosas.

$\forall x: [x\in A \implies x\in D]$ significa que todas las manzanas son deliciosas. A menudo escrito $\forall x\in A :x\in D$

$\forall x: [x\in A \land x\in D]$ significa que todo es una deliciosa manzana.

$\exists x:[x\in A \land x\in D]$ significa que existe al menos una deliciosa manzana. A menudo escrito $\exists x\in A:x\in D$, o, equivalentemente, $\exists x\in D: x\in A$

¿Qué $\exists x:[x\in A \implies x\in D]$ significa? Es equivalente a $\exists x:[x\notin A \lor x\in D]$.

Para un determinado $x$ a continuación, cualquiera de las siguientes posibilidades, que va a satisfacer esta condición:

1. $x\in A \land x\in D$, es decir, existe al menos una deliciosa manzana (como arriba)

2. $x\notin A\land x\in D$, es decir, existe al menos una que no sea de apple que es delicioso

3. $x\notin A\land x\notin D$, es decir, existe al menos una que no sea de apple que no es delicioso

Así, la implicación permite más posibilidades que la conjunción. En particular, la implicación permite la posibilidad de que no existen las manzanas. La conjunción no.

Además, $\exists x: [x\in A \implies x\in D]$ es un conjunto teórico de la variación de la llamada del Bebedor Paradoja. Aquí es donde se pone loco! Para cualquier conjunto de $A$ y cualquier proposición $P$, podemos demostrar el uso ordinario de la teoría de conjuntos que $$\exists x: [x\in A \implies P]$$

Usted incluso podría ser, por ejemplo, que el $$\exists x: [x\in A \implies x\notin A]$$ Así pues, para evitar confusión, es probable que desee para evitar tales construcciones en matemáticas. Para un desarrollo formal, consulte El Bebedor de la Paradoja: Un Relato de Tres Paradojas en mi blog.

Answer 3

$\forall x\in F (A(x)\to D(x))$ frente al $\exists x\in F(A(x)\wedge D(x))$

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$\forall x\in F (A(x)\to D(x))$ dice que "cualquier fruta, si se trata de una manzana, entonces es delicioso," o simplemente, "las manzanas son deliciosas frutas".

$\forall x\in F (A(x)\wedge D(x))$ dice que "cualquier fruta, es una manzana y es delicioso", o simplemente "todas las frutas son deliciosas manzanas."

El que dice lo que quieres decir?

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$\exists x\in F(A(x)\wedge D(x))$ dice que "algunas de las frutas, es una manzana y es delicioso", o simplemente "no es una deliciosa manzana".

$\exists x\in F (A(x)\to D(x))$ dice que "hay algo de fruta, que si se tratase de una manzana, entonces sería delicioso". Testigos de este moho de color naranja.

El que dice lo que quieres decir?

Answer 4

No es que $\exists x\, (F(x) \wedge (A(x) \to D(x)))$ es incorrecta -- no es, por su interpretación de $F$, $A$ y $D$. Simplemente no es generalmente lo que vas a decir: es más débil (más amplia, lo verdadero de las cosas más $x$) de $\exists x (F(x) \wedge (A(x) \wedge D(x)))$ – también puede ser el caso de algunos de pera $x$, por ejemplo.

La regla general (o, regla de oro) que "$\forall$$\to$, e $\exists$ $\wedge$ " surge de la manera en que estas dos declaraciones son prestados en primer orden de la lógica:

1. Todos los $A$s $B$s
2. Algunos $A$s $B$s

El análisis de estas declaraciones y de cómo la razón con grupos de ellos va todo el camino de regreso a (la más famosa) de Aristóteles.

1. se representa como $\forall x \,(A(x) \to B(x))$,
2. se representa como $\exists x\,(A(x) \wedge B(x))$.