EDIT: Esto es cierto hasta la dimensión 8. Un artículo que tengo, Hsia, J.S. Two theorems on integral matrices. Linear Multilinear Algebra 5, 257-264 (1978). Pongo un pdf en TERNARIO con el nombre Hsia_1978.pdf. Llama al problema de la terminación y lo responde en el teorema 2. También da mi ejemplo de dimensión 9, página 262. Por lo tanto, sólo llegué unos 34 años tarde. Esta referencia fue proporcionada en MO por alguien anónimo con el nombre http://en.wikipedia.org/wiki/Yazdegerd_III , que realmente pensé que era un nombre del Dr. Seuss por la rima, comparar http://en.wikipedia.org/wiki/Yertle_the_Turtle_and_Other_Stories y ver http://en.wikipedia.org/wiki/Dr._Seuss_bibliography#Dr._Seuss_books
ORIGINAL: Finalmente lo conseguí. La tarea es imposible para una matriz de 9 por 9 con la primera fila $$ (1,1,1,1,1,1,1,1,1 ). $$
Yo gano.
El truco es que $$ x^2 \equiv x \pmod 2. $$ Entonces, si tomo cualquier número de impar $k,$ y considerar un $k^2$ por $k^2$ y tomamos la primera fila de la matriz para que sea todo 1, encontramos que NO hay otras filas de la misma longitud ortogonales a la primera fila, porque una fila $(x_1, \ldots, x_{k^2})$ debe tener una longitud al cuadrado $k^2$ en este problema, por lo que $$ \sum_{j=1}^{k^2} \; x_j^2 \; = \; k^2 \equiv 1 \pmod 2. $$ Entonces el producto punto con la fila de todos los 1's es $$ \sum_{j=1}^{k^2} \; x_j \; \equiv \; \sum_{j=1}^{k^2} \; x_j^2 \equiv 1 \pmod 2. $$ Es decir, el producto punto es impar y, por tanto, distinto de cero. Así que, de hecho, simplemente no hay filas ortogonales de la misma longitud al cuadrado, no se puede llenar toda la matriz, ni siquiera se puede obtener una segunda fila.
EDIT: una cosa similar se puede hacer para cualquier $n$ por $n$ matriz cuando $$ n \equiv 1 \pmod 8. $$ Así, por ejemplo, cuando $n = 17,$ la matriz no puede rellenarse como se desea cuando la primera fila es $$ (3,1,1,1,1, 1,1,1,1, 1,1,1,1, 1,1,1,1). $$ Las entradas no tienen que ser 1, sólo impar. Por lo tanto, debería haber infinitas primeras filas (para cada $n$ ) para los que esta tarea es imposible, siempre y cuando tengamos $ n \equiv 1 \pmod 8. $ Sí, es bastante fácil. Gauss demostró que todo número es la suma de tres números triangulares, siendo tales $(1/2)(p^2 +p)$ para los enteros $p \geq 0.$ Ahora, $8 \cdot (1/2)(p^2 +p)= 4 p^2 + 4 p.$ Así que podemos representar cualquier múltiplo de 8 como $4 p^2 + 4 p + 4 q^2 + 4 q + 4 r^2 + 4 r$ con números enteros $p,q,r \geq 0.$ Como resultado, podemos tener el cuadrado de impar que queramos (no más pequeño que $n$ ) como la suma de los cuadrados de $$ (2p+1,2q+1,2r+1,1,1,1, \ldots, 1,1,1,1) $$ siendo la fila de longitud $ n \equiv 1 \pmod 8. $ Como resultado, podemos hacer que la longitud sea cualquier entero impar que queramos, siempre que sea al menos $\lceil \; \sqrt n \; \rceil.$
EDDDITTT: la parte de Gauss y los números triangulares dice algo más fuerte, dando lugar a muchos más contraejemplos: con $ n \equiv 1 \pmod 8, $ podemos especificar cualquier $n-3$ Números Impares que nos gustan, y luego usar las tres últimas posiciones (también números Impares) para forzar la longitud integral, como se pedía en el problema original. De ahí este ejemplo: $$ (1,3,5,7,9,11,13,17,25) $$ que tiene una longitud de 37. Pero cualquier otro vector entero de longitud 37 tiene un producto interno impar, por tanto no nulo, con este vector.
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Cualquier base para $\mathbb{Z}^n$ será, cuando se reduzca el módulo $p$ , dan una base para $\mathbb{F}_p^n$ . Por lo tanto, está claro que ninguna base para $\mathbb{Z}^n$ puede contener un vector como $[2,2,2]$ . No estoy del todo seguro de que su conjetura sea cierta si se restringe a los vectores cuyas entradas tienen GCD 1.
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Estás mezclando terminología incompatible. Su ejemplo anterior es una base para $\mathbb Q^3,$ sobre el campo $\mathbb Q.$ Sobre los enteros $\mathbb Z,$ no podrá representar el punto de la red $(0,1,0).$ Dada una red integral, se dice que un conjunto de vectores es una base si son linealmente independientes y si abarcan la red con entero coeficientes.
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A pesar de la mala redacción, creo que el OP quiere preguntar claramente que, dado un vector entero $v$ de longitud entera positiva, ¿es posible extenderlo a una base ortogonal del espacio euclidiano, tal que cada vector base sea un vector entero con la misma longitud que $v$ ?
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@user1551, no, deja $v = (2,1,0).$
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@WillJagy No sigo. $\|(2,1,0)\|=\sqrt{5}$ no es un número entero.
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@user1551, veo que es una de las condiciones. Dame un minuto.
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Debería releer mis posts antes de enviarlos, sobre todo a altas horas de la noche. Gracias @user1551, has interpretado correctamente mi pregunta.
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@user1551, la tarea es imposible para una matriz de 9 por 9 con la primera fila formada por todos los 1's.
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Eso es un buen contraejemplo.