La forma cerrada para $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+n+n^2+\cdots+n^a}$

Question

¿Alguien sabe si sucede que existe una solución de forma cerrada para esta suma:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+n+n^2+\cdots+n^a}$$

Para valores bajos de $a$, Wolfram Alpha le da una forma cerrada en términos de la polygamma función de la función de fin de $0$ (derivada del logaritmo de la función gamma), así que me pregunto si hay una forma cerrada en términos de $a$.

Gracias!

Answer 1

Sólo tenga en cuenta que $$1+n+\ldots+n^a=\prod_{k=1}^{a}\left(n-\zeta_k\right),$$ donde $\zeta_k$'s $(a+1)$th raíces de la unidad, excluyendo $1$, y descomponer el término general de la serie en fracciones parciales: $$\frac{1}{1+n+\ldots+n^a}=\sum_{k=1}^a \frac{\alpha_k}{n-\zeta_k}.\tag{1}$$ No es difícil mostrar que $\displaystyle \alpha_k=\frac{\zeta_k\left(\zeta_k-1\right)}{a+1}$.

Considerar el finitosuma $$\mathcal{S}_N:=\sum_{n=1}^N\frac{1}{1+n+\ldots+n^a}=\sum_{k=1}^a\alpha_k\sum_{n=1}^N\frac{1}{n-\zeta_k}=\sum_{k=1}^a\alpha_k\Bigl[\psi\left(1-\zeta_k+N\right)-\psi\left(1-\zeta_k\right)\Bigr].$$ A continuación, vamos a uso de dos observaciones:

• el comportamiento asintótico de $\psi(z)$ $z\rightarrow +\infty$ $\psi\left(1+z\right)=\ln z+O\left(z^{-1}\right)$,

• $\sum_{k=1}^a\alpha_k=0$ (calcular el coeficiente de $n^{a-1}$ en el numerador del lado derecho de (1))

Que implica que el valor de la suma de interés está dada por $$\mathcal{S}_{\infty}=-\sum_{k=1}^a\alpha_k\psi\left(1-\zeta_k\right)=\frac1{a+1}\sum_{k=1}^a\zeta_k\left(1-\zeta_k\right)\psi\left(1-\zeta_k\right),$$ con $\zeta_k=e^{{2\pi i k}/({a+1})}$.