Distribución de la carga en un condensador de placas en paralelo

Question

Si se forma un condensador de placas paralelas colocando dos láminas conductoras infinitas conectadas a tierra, una a potencial $V_1$ y otro en $V_2$ , una distancia $d$ de la otra, entonces la carga de cualquiera de las placas estará completamente en su superficie interior. Tengo un poco de problemas para mostrar por qué esto es cierto.

En el espacio entre las dos placas el campo $E = ( V_1 - V_2 ) / d$ satisface la ecuación de Laplace y las condiciones de contorno, de donde puedo derivar que la densidad de carga superficial es $\pm E / 4 \pi$ . Pero, ¿qué pasa con el espacio por encima y por debajo del condensador? Ciertamente, no puedo utilizar la superposición de las distribuciones de carga de la superficie interior para decir que el campo fuera del condensador es cero, (y por lo tanto la densidad de carga de la superficie es cero), ya que esto supone que no hay carga en las superficies exteriores para empezar.

Cualquier ayuda para despejar este bloqueo mental sería muy apreciada, gracias.

Answer 1

En primer lugar, una puntualización: si los potenciales de las dos placas son distintos de cero, no están conectadas a tierra, por definición.

En segundo lugar, tal y como yo lo veo: en la región de interés por encima y por debajo de las placas, las condiciones de contorno no están establecidas. Para establecer estas condiciones de contorno, se podría imaginar que se añaden dos placas conductoras infinitas adicionales por encima y por debajo de las placas originales, y se conectan a tierra estas nuevas placas a un potencial 0.

• Si las nuevas placas se sitúan inicialmente cerca de las placas originales, habrá efectivamente un campo eléctrico por encima y por debajo de las placas originales, y una densidad de carga superficial correspondiente en sus superficies exteriores.
• Ahora imagina que las nuevas placas se retiran hasta el infinito. Como las diferencias de potencial son fijas, el campo eléctrico, y las densidades de carga de la superficie exterior, van a cero.

Answer 2

Ignora las superficies interiores y exteriores. Sólo hay una superficie.

Imagina un plano único e infinito con cierta densidad de carga positiva. Se puede demostrar fácilmente que habría un campo eléctrico de intensidad constante* , perpendicularmente hacia fuera del plano hasta el infinito en ambas direcciones.

Ahora imagina una placa única e infinita con la misma densidad de carga negativa. Habría una campo eléctrico de intensidad constante perpendicularmente en el avión hasta el infinito en ambas direcciones.

Si ponemos estas dos placas una encima de la otra, estos campos se anulan perfectamente.

Ponga estas dos placas en paralelo, y como el campo es de fuerza constante, se se anulan perfectamente en todas partes excepto entre las dos placas donde las direcciones del campo eléctrico son las mismas y se sumará para ser el doble de fuerte.

[*Con fuerza constante me refiero a que el campo eléctrico es igual de fuerte sin importar la distancia a la que se encuentre la placa. ¿Por qué el campo es de intensidad constante? Porque las líneas de campo no pueden divergir entre sí. La forma en que los campos suelen ser más débiles es que la superficie equipotencial a la que las líneas de campo son normales se hace más grande a medida que aumenta la distancia del objeto. Por lo tanto, el mismo número de líneas de campo que atraviesan una superficie más grande significa que las líneas de campo están más dispersas y, por lo tanto, el campo es más débil. Sin embargo, en este caso, las superficies equipotenciales son siempre un par de planos paralelos infinitos, independientemente de la distancia a la que nos encontremos del plano cargado. Si no hay dispersión, no hay cambio en la intensidad del campo].

Answer 3

Se podría abordar el problema teniendo cuidado con la forma en que se construye una interpretación matemática del sistema físico. Trataré el caso más sencillo: tratar las superficies de los condensadores de placas paralelas como verdaderas superficies bidimensionales. En este caso no hay carga superficial interior o exterior, sólo una densidad de carga superficial definida en cada superficie.

Matemáticamente se podría representar cada conductor como un plano infinito, digamos $S_\pm \subset \mathbb{R}^3$ entonces hay dos densidades de carga superficial $\sigma_\pm$ cada una definida en la superficie correspondiente $S_\pm$ . Alternativamente, se puede utilizar el lenguaje de las distribuciones y utilizar una distribución de carga (de volumen) definida en todo $\mathbb{R}^3$ tal que $\rho(x, y, z) = \sigma_+ \delta(z - d/2) + \sigma_+ \delta(z + d/2)$ donde he puesto $S_\pm$ en los aviones $z = \pm d/2$ .

Los modelos más complicados podrían suponer que cada placa del conductor tiene un grosor finito. Entonces se podría resolver el problema más complicado y calcular lo que ocurre en los límites cuando el grosor se aproxima a cero.