La función de los derivados con "fijo" valores en $0$

Question

Si $ \{a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$ no es una constante de la secuencia de los números reales, es posible encontrar una función de $f \in \mathcal{C}^{\infty}_{b}(\mathbb{R})$ ( = espacio delimitado las funciones lisas) tal que y $f^{(n)}(0)=a_n$ por cada $n \in \mathbb{N}$?

Estoy luchando con este problema, surgido de mis noches sin dormir, desde hace un par de días, pero no tengo idea de cómo demostrar a/de refutarla. Sólo me di cuenta de que si puedo eliminar la hipótesis de acotamiento y asumo $\limsup_{n} \sqrt[n]{a_n / n!}=0$ $f(x) = \sum_{n \ge 1} \frac{a_n}{n!} x^n$ debería funcionar, pero esto no ayuda mucho.

Gracias de antemano!

Answer 1

Esquema: se puede hacer. Utilizamos "bump" de las funciones, consulte la Wikipedia. Deje $f_0(x)=a_0$ en el intervalo de $(-1/2,1/2)$ y hacer que la desintegración de forma idéntica $0$ más allá de la $(-1,1)$ multiplicando $a_0$ por golpe función que es $1$ $(-1/2,1/2)$ y cae a $0$ más allá de la $(-1,1)$.

Deje $f_1(x)=a_1x$$(-1/4,1/4)$, y se deja caer a $0$ multiplicando $a_1x$ por un golpe función que es $1$ $(-1/4,1/4)$ y se desintegra en forma idéntica $0$ más allá de la $(-1/2,1/2)$. Deje $f_2(x)=\frac{a_2x^2}{2!}$ $(-1/8,1/8)$ y la desintegración de forma idéntica $0$ más allá de la $(-1/4,1/4)$. Y así sucesivamente. Deje $f=\sum_0^\infty f_n(x)$.