Las desigualdades que muestran si la distribución se desintegra lentamente

Question

A menudo, uno a menudo está interesado en teoremas/desigualdades de los siguientes tipos:

Deje $X$ ser una variable aleatoria, entonces la probabilidad de que $X$ está cerca típicamente $\mu$ (o más grande que algunos de constante) es pequeño. En otras palabras, el teorema muestra que $X$ decae rápidamente en algún sentido. Un ejemplo típico es la desigualdad de Chebyshev, que establece esencialmente que $X = \mathbf E[X] + O(\sqrt{\mathbf{Var}[X]})$.

Capítulo 1 en combinatoria Aditiva por Tao y Vu ofrece un montón de interesantes resultados de este tipo. (Mi propio interés viene de la combinatoria.) Mi pregunta se refiere a los teoremas de la opuesta tipo:

¿Cuáles son algunas buenas teoremas que puede ser utilizado para demostrar que la $X$ decae lentamente?

Por ejemplo, yo estaría interesado en teoremas de la especie $\mathrm{Pr}( |X-\mu|> a) > b$ (o sin el valor absoluto), donde $a$ $b$ depende de los momentos de $X$. (Estoy particularmente interesado en distribuciones discretas.)

Uno muy simple ejemplo es: $$ \mathrm{Pr}\big( |X - \mathbf E[X]| > \mathbf{Var}(X)^{1/2} \big) > 0.$$

Pero seguramente debe haber muchos otros?

Answer 1

El Paley-Zygmund la desigualdad dice que si $0 < \lambda < 1$, $X \ge 0$, y $E(X^2) < \infty$, luego $$ \Pr(X \ge \lambda E(X)) \ge (1-\lambda)^2 \frac{(EX)^2}{E(X^2)} .$$ Es en el libro de JP Kahane "Algún Azar de la Serie de Funciones," al final de la Sección 6 del Capítulo 1.

Tengo unos papeles que le da un límite inferior en la cola de probabilidades, por lo general en las sumas de variables aleatorias independientes. El primer documento se basa en la desigualdad de Paley y Zygmund. http://www.math.missouri.edu/~stephen/preprints/tail.html http://www.math.missouri.edu/~stephen/preprints/compare.html http://www.math.missouri.edu/~stephen/preprints/weibulls.html http://www.math.missouri.edu/~stephen/preprints/tailproc.html http://www.math.missouri.edu/~stephen/preprints/disttail.html Conozco a un montón de otras personas que han hecho este tipo de cosas así - mira las referencias en el último papel. En particular, yo estaba muy impresionado por el papel por Latala, (1997) la Estimación de los momentos de sumas de variables aleatorias independientes, Ann. El Probab., 25, 1502-1513.