¿Qué podemos deducir si P(A|B,C) = P(A|B)?

Question

Quiero entender qué podemos deducir cuando se cumple la siguiente ecuación: $$P(A|B,C) = P(A|B)$$

Tengo entendido que $C$ no nos da ninguna información adicional sobre $A$ que $B$ no nos da ya o en otras palabras que $A$ es condicionalmente independiente de $C$ dado $B$ . Otra explicación podría ser que A y C son independientes.

¿Cuál de las anteriores es cierta (si es que lo es)? ¿Hay algo más que podamos decir sobre la relación de $A$ , $B$ y $C$ ?

Answer 1

Resulta que esta es la definición de independencia condicional. Por lo tanto, la igualdad significa que $A$ y $C$ son condicionalmente independientes dado $B$ .

Fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/Conditional_independence

Answer 2

Utilizando la definición de probabilidad condicional, tenemos que $$\begin{align} P(A\mid B \cap C) &= P(A\mid B)\tag{1}\\ &\Downarrow\\ \frac{P(A\cap B\cap C)}{P(B\cap C)} &= \frac{P(A\cap B)}{P(B)}\\ &\Downarrow\\ \frac{P(A\cap B\cap C)}{P(A\cap B)} &= \frac{P(B\cap C)}{P(B)}\\ &\Downarrow\\ P(C\mid A\cap B) &= P(C\mid B)\tag{2} \end{align}$$ que recuerda inquietantemente a $(1)$ desde $(2)$ es sólo $(1)$ con $A$ y $C$ intercambiados. De hecho,

$A$ y $C$ son condicionalmente independiente dado $B$ .

Podemos proceder de $(1)$ arriba y escriba $$\begin{align} P(A\mid B \cap C) &= P(A\mid B)\tag{1}\\ &\Downarrow\\ \frac{P(A\cap B\cap C)}{P(B\cap C)} &= P(A\mid B)\\ &\Downarrow\\ \frac{P(A\cap C\mid B)P(B)}{P(C\mid B)P(B)} &= P(A\mid B)\\ &\Downarrow\\ \frac{P(A\cap C\mid B)}{P(C\mid B)} &= P(A\mid B)\\ P(A\cap C\mid B) &= P(A\mid B)P(C\mid B)\tag{3} \end{align}$$ donde $(3)$ puede ser reconocida como la prueba de fuego para declarar que $A$ y $C$ son condicionalmente independiente dado $B$ .

Sin embargo, $A$ y $C$ no tienen por qué ser (incondicionalmente) independientes ya que como usted cree que podría ser. Como contraejemplo, supongamos que $$P(ABC)=P(ABC^c) = P(A^cBC) = P(A^cBC^c) = 0.1; ~~P(A^cB^cC^c) = 0.6$$ Entonces, fácilmente obtenemos que $P(AB) = P(BC) = 0.2; ~ P(B) = 0.4$ para que los lados derechos de $(1)$ y $(2)$ tener valor $\frac{0.2}{0.4}=\frac 12$ mientras que los lados izquierdos tienen valor $\frac{0.1}{0.2} = \frac 12$ . Pero, $$P(AC) = 0.1 \neq P(A)P(C) = 0.2\times 0.2$$ y así $A$ y $C$ no son eventos independientes.