¿Es $f: \mathbb Q_{>0} \to \mathbb Q, f(x)=x^2$ un mapa abierto?

Question

Supongamos $f: \mathbb{Q_{>0}} \to \mathbb{Q} $ mapas de cada $x$ de su dominio a $x^2$. Y por la apertura de un mapa me refiero a una función que asigna abrir conjuntos de bloques abiertos. Dada la natural topología en $\mathbb{Q}$, probar o refutar: $f$ es una carta abierta.

Edit: creo $f$ no se puede abrir porque en el rango de $f$ no tenemos los números cuyas raíces cuadradas son irracionales. Pero no sé cómo decir esto de una manera formal.

2ª edición: creo que desde una base de la topología en $\mathbb{Q}$ consisten en abrir los intervalos, es suficiente para mostrar que todo intervalo abierto en $\mathbb{Q}$ tiene un punto cuya raíz cuadrada no es racional.

Answer 1

Una similar, pero el punto de vista alterno el uso de secuencias (somos bendecidos con secuencias ya hemos habitual de la topología en $\mathbb Q$, con la costumbre de métrica):

Deje $f:\mathbb Q _{>0} \to \mathbb Q$ ser como el anterior, $f(x) = x^2$. Nos muestran que no es una tarjeta abierta mostrando su imagen $f(\mathbb Q_{>0})$ no es un conjunto abierto en $\mathbb Q$ (Nota: $\mathbb Q _{>0}$ está abierto en $\mathbb Q _{>0}$!). Denotar la imagen $W = f(\mathbb Q_{>0}) = \{x^2 : x\in \mathbb Q_{>0}\}$.

Mostrando $W$ no está abierto en el $\mathbb Q$ es equivalente a mostrar su complementar $\mathbb Q - W$ no está cerrado en $\mathbb Q$. Ya tenemos una natural métrica, para mostrar $\mathbb Q - W$ no está cerrado en $\mathbb Q$ es exponer una secuencia cuyos términos están en $\mathbb Q - W$ y converge en $\mathbb Q$, pero el límite no está en la $\mathbb Q - W$ (es decir, el límite está en $W$). [Esto es porque conjuntos cerrados contener todo su límite de puntos.]

En efecto, considerar la secuencia de $(a_n)$ dada por $a_n = n / (n + 1)$, $n\in \mathbb N$. Tenga en cuenta que cada una de las $a_n$ es un número racional, pero no es un cuadrado de un número racional [puede que desee probar este. Lo he editado para dar a los de abajo]. Por lo tanto $a_n \in \mathbb Q - W$. Pero el límite de $(a_n)$ existe en $\mathbb Q$, es decir,$a_n \to 1$. Por último, tenga en cuenta que $1\in W$. Por lo tanto $(a_n)$ es una secuencia convergente en $\mathbb Q - W$ con límite de en $W$, $\mathbb Q - W$ no está cerrado.

Por lo tanto $W$ no está abierta, y que $f$ no es una carta abierta. ////

[Prueba de $n/(n+1)$ no es un cuadrado de un número racional, por $n\in\mathbb N$: Supongamos que al contrario que $n/(n+1) = a^2 / b^2$, para algunas de las $a,b,\in \mathbb N$ con $gcd(a,b) =1$, $b>a$. Luego tenemos a $b^2 n = a^2n +a^2$, lo que implica $n = a^2/(b^2 - a^2) = a^2/(b+a)(b-a)$, un número entero. Esto demuestra que $(b+a)|a^2$, decir $a^2 = x(b+a) = xb + xa$, para algún entero $x\ge 1$. Pero esto significa $a^2 - xa = a(a-x) = xb$ o $a|xb$. Pero desde $gcd(a,b)=1$, debemos tener $a|x$, decir $x = ya$, algunos entero $y\ge 1$. A continuación, por sustitución, vemos que $a^2 = ya(b+a) = yab +ya^2$, es decir,$a^2(1-y) = yab\le 0$, una contradicción.] (¿Alguien más tiene un suplente prueba de esta "simple" declaración?)

Answer 2

Vamos ahora a $O \subseteq \mathbb Q_{>0}$ ser abierto w.r.t. el subespacio de la topología inducida por $\mathbb R$. A continuación, $O = U \cap \mathbb Q_{>0}$ donde $U \subseteq \mathbb R$ está abierto en $\mathbb R$. Además, si definimos $g: \mathbb R_{>0} \to \mathbb R, g(x) = x^2$$V := g(U)$, obtenemos

$$ f(S) = g(S) = g(U \cap \mathbb Q_{>0}) = (g^{-1})^{-1}(U \cap \mathbb Q_{>0}) = g(U) \cap g(\mathbb Q_{>0}) = V \cap g(\mathbb Q_{>0}). $$

Suponga que el último sería de la forma $W \cap \mathbb Q$ donde $W$ está abierto en $\mathbb R$. Entonces

$$ V \cap g(\mathbb Q_{>0}) = W \cap \mathbb P. $$

Pero si elegimos $y \in \mathbb R$ $\epsilon > 0$ tal que $(y - \epsilon, y + \epsilon) \subseteq W$, podemos encontrar un racional $q$ en ese intervalo que ha irracional de la raíz, y por lo tanto $q \in W \cap \mathbb Q$, pero no $q \in V \cap g(\mathbb Q_{>0})$. Por lo tanto, la respuesta es no; el mapa no está abierto.

EDIT: voy a probar también que $(z - \epsilon, z + \epsilon)$ contiene un número racional que tiene irracional de la raíz (para arbitrario $z \in \mathbb R$). Claramente, contiene una racional $x/y$. Si que racionales tiene irracional de la raíz, hemos terminado. De lo contrario, se multiplica por un número de la forma

$$ \frac{p}{p+1}, $$

donde $p$ no se produce en el primer factorización del numerador y es lo suficientemente grande tal que el número resultante es todavía en el intervalo.

El número resultante de la raíz es irracional por la singularidad de la primer descomposiciones de numerador y el denominador de $(px)/((p+1)y)$ (si la raíz era racional, podríamos obtener una segunda descomposición por el cuadrado de la raíz).