Esto se logra mediante la Veronese mapa.
Es decir, considerar todos los monomials $M_{i_0\cdots i_n}(x)=x_0^{i_0}\cdots x_n^{i_n}$ (hay $N+1=\binom {n+d}{d}$ de ellos) y embed $\mathbb P ^n$ a $\mathbb P ^N$$ver:x\mapsto (\cdots :M_{i_0\cdots i_n}(x)):\cdots) $.
La imagen de $\mathbb P^n$ bajo $ver$ es una subvariedad $V\subset \mathbb P ^N$ y la imagen de $U_F$ es una subvariedad cerrada de la variedad afín $\mathbb P ^N\setminus L_F$ donde $L_F\subset \mathbb P ^N$ es un hyperplane que os invito a definir.
Por lo tanto $U_F$ es afín, isomorfo a la subvariedad cerrada $(\mathbb P ^N\setminus L_F)\cap V$ $\mathbb P ^N\setminus L_F\cong \mathbb A^N$ mencionado más arriba.
Editar
La Veronese incrustación da una muy elemental prueba de que dos curvas en $\mathbb P^2$parejas: ver aquí.
Una evidente adaptación de la prueba de muestra igual de fácil que una hipersuperficie en $\mathbb P^n$ cruza cualquier irreductible subvariedad de $\mathbb P^n$ contiene más de un punto (es decir, una positiva dimensiones subvariedad, pero no quiero usar al menos elemental concepto de dimensión)
Segunda Edición
Aquí es cómo definir el hyperplane $L_F$ que me "invitó" a definir en mi respuesta.
Las coordenadas en $\mathbb P ^N$ son indexados por el mismo multi-índices de $I=(i_0,\cdots, i_n)$ que definir el monomials $M_{i_0,\cdots, i_n}(x)$, por lo que un punto en $\mathbb P ^N$ tiene coordenadas $(\cdots :z_I:\cdots)_I$ .
Si el polinomio homogéneo $F$ está explícitamente escrito como $F(x)=\sum a_Ix_0^{i_0}\cdots x_n^{i_n}$, entonces la ecuación de la hyperplane $L_F$ es sólo $l_F(\cdots,z_I,\cdots)=\sum a_Iz_I=0$ donde $l_F(\cdots ,z_I,\cdots)=\sum a_Iz_I$ es un lineal de la forma en las coordenadas $z_I$$\mathbb P ^N$.
En un sentido Veronese ha transformado un polinomio homogéneo $F(\cdots ,x_i,\cdots)$ grado $d$ en un formulario de $l_F(\cdots ,z_I,\cdots)$ grado $1$ (dramáticamente!) aumentar el número de variables.
