Polinomio mínimo de $\alpha$ $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$

Question

He estado trabajando en estos dos mínimos polinomio preguntas y estoy particularmente preocupado por (b)

Encontrar el polinomio mínimo de a $\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}$

(a) $\mathbb{Q}$

Mediante el establecimiento $\alpha=\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}$, me encontré con el mínimo polinomio a ser $\alpha^3-6\alpha-6=0$ (editado). Este método solo se cuadratura de condiciones y era bastante largo - este es el procedimiento estándar?

(b) $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$

¿Qué significa ser el polinomio mínimo de más de $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$? Más de $\mathbb{Q}$, veo la mínima polinomio como el polinomio de menor grado tal que $\alpha$ es una raíz, pero no puedo ver lo que está pasando aquí.

A partir de (a), sabemos que $[\mathbb{Q}(\alpha) : \mathbb{Q}]=3$. Así:

$$[\mathbb{Q}(\alpha, \sqrt{2}) : \mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\alpha, \sqrt{2}) : \mathbb{Q}(\alpha)][\mathbb{Q}(\alpha) : \mathbb{Q}]=3[\mathbb{Q}(\alpha, \sqrt{2}) : \mathbb{Q}(\alpha)]$$

Así que dado que el grado es un múltiplo de a $3$, el grado del polinomio mínimo de a $\alpha$ $\sqrt{2}$ es también un múltiplo de $3$. Podemos automáticamente a la conclusión de es $3$? No lo creo así, ya que estamos considerando un mayor campo ($\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \subset \mathbb{Q}$

Answer 1

Otra forma de hacerlo es interpretar $\alpha$ $\mathbb{Q}$-mapa linear de $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ a sí mismo. Con respecto a la base $\{1,\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{4}\}$, representada por la matriz de $$\begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$ The characteristic and minimal polynomial is $$t^3 - (0+0+0) t^2 + 3 \cdot \mathrm{det} \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} t - \mathrm{det} \begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ $% $ $= t^3 - 6t - 6.$

Answer 2

$(a)$ Computar $$ x ^ 3 = (2 ^ {1/3} +4 ^ {1/3}) ^ 3 = 2 +3\cdot 2 ^ {4/3} +3\cdot 2 ^ {5/3} +4 = 6 +6 (2 ^ {1/3} +4 ^ {1/3}) = 6 +6 x. $$ Por lo tanto el polinomio mínimo es dada por $x^3-6x-6$.

$(b)$, Se da el grado del polinomio mínimo de $\alpha$ $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ $[\mathbb{Q}(\alpha, \sqrt{2}) : \mathbb{Q}(\sqrt{2})]=3$.