Con $N$ una constante $>0$ , mostrar $\prod_{p<x}\frac{1}{p^{N+1}-1}>\frac{0.2}{\log^2 x}$ .

Question

Relacionado .

Demuestre que si $x$ es lo suficientemente grande, $$\prod_{\substack{p<x \\ p \ \text{prime}}}\frac{1}{p^{N+1}-1}>\frac{0.2}{\log^2 x}.$$ Hablando de eso, el Teorema 6.12, y quizás otros, de este documento puede ser útil. Si $N$ no puede ser arbitrariamente grande para que se cumpla la desigualdad, cualquier condición de veracidad respecto a su valor es bienvenida.

Answer 1

Su desigualdad equivale a $$-\underset{p\leq x}{\sum}\log\left(p^{N+1}-1\right)>\log\left(0.2\right)-2\log\left(\log\left(x\right)\right).$$ Ahora tenemos, por la suma parcial y el teorema de los números primos, que existe $c_{1},c_{2}>0$ tal que $$-\log\left(0.2\right)-\underset{p\leq x}{\sum}\log\left(p^{N+1}-1\right)<-\underset{p\leq x}{\sum}\log\left(p\right)=-\left(c_{1}x+c_{2}\frac{x}{\log\left(x\right)}+o\left(\frac{x}{\log\left(x\right)}\right)\right)<-cx<-2\log\left(\log\left(x\right)\right)$$ para algunos $c>0$ y $x$ lo suficientemente grande. Así que es falso.