ampliar formas de cúspide

Question

Que $E/F$ ser una extensión cuadrática del campos de número, y que $V$ un $n$-dimensional espacio hermítica $E$.

Que $\tilde{G} := GU(V)$ y $G := U(V)$. Supongamos que $(\pi, V_{\pi})$ es una representación irreducible cuspidal de $G.$

¿Hay una representación irreducible de cuspidal $(\tilde{\pi}, V_{\tilde{\pi}})$ $\tilde{G}$ tal que $V_\pi \subset V_{\tilde{\pi}}|_{G}$? Tenga en cuenta que aquí, la restricción es la de las formas de cambio de signo, no de la representación de sí mismo.

Answer 1

Creo que la respuesta debería ser que sí, por alguna versión de la siguiente boceto de un argumento:

(Nota: por la restricción de escalares, considero que todos los grupos se definen en $\mathbb Q$, y escribo ${\mathbb A}$ para los adeles de $\mathbb Q$.)

Se nos da $V_{\pi} \subset Cusp(G(F)\backslash G({\mathbb A}_F)).$

Deje $\tilde{C}$ denotar la máxima $\mathbb Q$-split toro en el centro de la $\tilde{G}$ (esto es sólo una copia de $\mathbb G_m$), y escribir $C = \tilde{C}\cap G$. (Supongo que esto es sólo $\pm 1$?)

Ahora $C(\mathbb A)$ actúa en $V_{\pi}$ a través de algunos de caracteres $\chi$$(\mathbb A)/C(\mathbb Q)$. Seleccione una extensión $\tilde{\chi}$ $\chi$ a un personaje de la $\tilde{C}(\mathbb A)/\tilde{C}(\mathbb Q)$, y respecto a $V_{\pi}$ como una representación de $\tilde{C} G$ por $\tilde{C}$ ley de a través de $\tilde{\chi}$. Desde $\tilde{C} G$ es normal y Zariksi abierta en $\tilde{G}$, debemos ser capaces de ampliar aún más el $\tilde{C} G(\mathbb A)$-acción en $V_{\pi}$ a una acción de $\tilde{G}(\mathbb Q)\tilde{C}G(\mathbb A).$

Ahora bien, si tenemos en cuenta $Ind_{\tilde{G}(\mathbb Q)\tilde{C} G(\mathbb A)}^{\tilde{G}(\mathbb A)} V_{\pi},$ debemos ser capaces de encontrar un cupsidal representación $V_{\tilde{\pi}}$ de la forma que desee (con $\tilde{C}(A)$ actuando a través de $\tilde{\chi}$).

La intuición es que automorphic formas en $G(\mathbb A)$ $Ind_{G(\mathbb Q)}^{G(\mathbb A)} 1,$ y lo mismo para $\tilde{G}$. Vamos a considerar las variantes de esta fórmula que toma en cuenta los personajes centrales, y pensar acerca de cómo compararlos para$G$$\tilde{G}$.

Dentro de la automorphic formas, tenemos a aquellos donde $C(\mathbb A)$ hechos por $\chi$; esto nos puede escribir como $Ind_{G(\mathbb Q)C(\mathbb A)}^{G(\mathbb A)} \chi$, y luego reescribir como $Ind_{\tilde{G}(\mathbb Q)\tilde{C}(\mathbb A)}^{\tilde{G}(\mathbb Q)\tilde{C}G(\mathbb A)} \tilde{\chi}.$ Es donde: $V_{\pi}$ vidas, una vez que extendemos a un repreresentation de $\tilde{G}(\mathbb Q)\tilde{C}G(\mathbb A)$ anterior.

Ahora el automorphic formas en $\tilde{G}(\mathbb A)$ con el personaje central de la $\tilde{\chi}$ se $Ind_{\tilde{G}(\mathbb Q)\tilde{C}(\mathbb A)}^{\tilde{G}(\mathbb A)} \tilde{\chi},$ que podemos reescribir como $Ind_{\tilde{G}(\mathbb Q) \tilde{C}G(\mathbb A)}^{\tilde{G}(\mathbb Un)} Ind_{\tilde{G}(\mathbb Q)\tilde{C}(\mathbb A)}^{\tilde{G}(\mathbb Q)\tilde{C}G(\mathbb Un)} \tilde{\chi}.$ This thus contains $Ind_{\tilde{G}(\mathbb Q)\tilde{C}G(\mathbb A)}^{\tilde{G}(\mathbb A)}V_{\pi}$ en su interior, y por lo tanto una irreductible constituyente de la última debe ser un $V_{\tilde{\pi}}$ cuya restricción (como un espacio de funciones) a $G(\mathbb A)$ contiene $V_{\pi}$.

Lo que acabamos de discutir, es el análogo de $G$ $\tilde{G}$ de la relación entre automorphic formas en $SL_2$ $GL_2$ discutidos por ejemplo, en Langlands--Labesse. Esperemos que no he metida de pata!