Una pregunta sobre la prueba de densidad de Cayley-Hamilton.

Question

La prueba habitual de Cayley-Hamilton utilizando la densidad es algo así:

Lema: Sea $f,g:X\to Y$ sean dos funciones continuas en espacios métricos $X$ y $Y$ . Si $f(x)=g(x)$ para todos $x\in E$ , donde $E$ es un subconjunto denso de $X$ entonces $f=g$ .

Dejemos que $\chi_A$ sea el polinomio característico de $A$ . Como es trivial demostrar Cayley-Hamilton para matrices diagonalizables y el conjunto de todas las matrices diagonalizables es denso en $M_n(\mathbb{C})$ podemos argumentar lo siguiente. Si $A$ es una matriz cualquiera, existe una secuencia de matrices diagonalizables $A_k$ tal que $A_k\to A$ . Por lo tanto, $\chi_{A_k}(A_k)\to\chi_A(A)$ por nuestro lema. Dado que $\chi_{A_k}(A_k)=O_n$ (porque la CH es válida para las matrices diagonalizables), se deduce que $\chi_A(A)=O_n$ .

Mi problema con esta prueba es el siguiente paso: "Por lo tanto, $\chi_{A_k}(A_k)\to\chi_A(A)$ por nuestro lema".

No me parece evidente. ¿Por qué la función $f(A)=\chi_A(A)$ ¿continuo? Está claro que, para una matriz fija $B$ la función $g(A)=\chi_B(A)$ es continua ya que es un polinomio. Sin embargo, esto no parece ser suficiente.

¿Puede alguien aclararme esto?

Gracias.

EDIT: He explicado mejor mi problema.

Considere las funciones $f(A)=\chi_A$ y $g(p)=p(A)$ . $f$ mapas $A$ a su polinomio característico y $g$ obtiene algún polinomio y aplica $A$ a ella. Claramente el mapa $A\mapsto \chi_A(A)$ es la función $g\circ f$ .

$f$ es continua ya que $f(A)=\det(xI-A)$ . Es decir, $f$ es polinómica en las entradas de $A$ .

Sin embargo, ¿por qué $g$ es continua? ¿Cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Dejemos que $\chi_A^i$ sea el coeficiente de $x^i$ en $\chi_A$ . Creo que está de acuerdo en que cada $\chi_A^i$ es una función continua de $A$ .

Entonces

$$\chi_A(A) = \sum_{i=0}^n \chi_A^i A^i$$ es la suma de productos de funciones continuas y, por tanto, continua.