Fórmulas de SEEP: desplazamientos derivados e integrales

Question

Muchas veces me encuentro con algunos de los nuevos fórmula se utiliza para trabajar con y/o reducir los diferenciales parciales. Como kleingordon dijo, estas cosas son misteriosamente no se enseña en cualquier lugar(al menos en los cursos de física). No puedo encontrar ninguna lista en internet, ya sea.

Estoy hablando de fórmulas como éstas:

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\int f(x,\alpha) \mathrm{d}x=\int\frac{\partial f(x,\alpha)}{\partial \alpha}\mathrm{d}x$$

$$\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x}$$ (para funciones continuas)

También he visto que puedes rellenar un derivado dentro de un EP $$ \frac{\rm d}{\rm dt}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{\partial \dot f}{\partial x}$$ (Nota-$\dot f=\frac{\rm df}{\rm dt}$)

También hay una fórmula que permite dividir una función en una suma de las derivadas parciales. Creo que esta es la multivariable regla de la cadena.

Me gustaría una lista de tales fórmulas, o enlaces a estas listas. Los libros también están bien, aunque me gustaría prfer fuentes de internet.

Answer 1

$\def\p{\partial}$Aquí una prueba de su último estado de cuenta. Utiliza la regla de la cadena: para funciones de $x(t)$ $g(x,t)$

$$\frac{d}{dt} g(x,t) = \frac{\p g}{\p t} + \frac{\p g}{\p x} \frac{dx}{dt} \tag{1}$$

Si usted toma $g=\p f/\p x$, luego de enchufar a (1) da

$$\frac{d}{dt} \frac{\p f}{\p x} = \frac{\p^2 f}{\p t \p x} + \frac{\p^2 f}{\p x^2} \frac{dx}{dt}$$

Por otro lado, si la primera toma de $g=f$ y, a continuación, tomar la derivada parcial con respecto a $x$:

$$\frac{\p}{\p x} \frac{df}{dt} = \frac{\p}{\p x} \left( \frac{\p f}{\p t} + \frac{\p f}{\p x} \frac{dx}{dt} \right) = \frac{\p^2 f}{\p x\p t} + \frac{\p^2f}{\p x^2} \frac{dx}{dt}$$

Usted puede comparar los lados derechos de estas expresiones y ver que son iguales (ya que las derivadas parciales conmutan). Por lo tanto

$$\frac{d}{dt} \frac{\p f}{\p x} = \frac{\p}{\p x} \frac{df}{dt}$$

así que la derivada parcial wrt $x$ viajes con el total de la derivada respecto de $t$.

Answer 2

Una identidad relacionada con la primera fórmula que podría ser útil es cuando tienes que diferenciar bajo el signo integral, pero los límites de integración son funciones de la variable que se está diferenciando con respecto a. A continuación:

$F = F(\alpha) = \int_{x_1(\alpha)}^{x_2(\alpha)}f(x,\alpha)dx$

$\frac{dF}{d\alpha} = F'(\alpha) = f(x_2,\alpha)\frac{dx_2}{d \alpha} - f(x_1,\alpha)\frac{dx_1}{d \alpha} + \int_{x_1(\alpha)}^{x_2(\alpha)}\frac{\partial f(x,\alpha)}{\partial \alpha}dx.$