¿Un espacio de Banach es $(l^1 ,\|.\|)$?

Question

Supongamos que $x=\{x_n\}\in l^1$ y $\|x\|=\sup|\sum_{k=1}^{n}x_k|$, que $\|x\|_1=\sum_{n=1}^{\infty}|x_n|$ es una norma para $l^1$. ¿Un espacio de Banach es $(l^1 ,\|.\|)$?

Answer 1

Que $x^{(n)}:=\sum_{j=1}^n\frac{(-1)^j}je^{(j)}\in\ell^1$, donde $e^{(n)}$ es la secuencia cuyo término de $n$-th es $1$, los otros $0$. Entonces $$\left\lVert x^{(m+n)}-x^{(n)}\right\rVert=\max_{1\leqslant j\leqslant m}\left|\sum_{k=n+1}^{n+j}\frac{(-1)^k}k\right|$ $ que converge a $0$ $m,n\to +\infty$ (porque podemos controlar el resto de esa serie).

Sin embargo, no podemos tener convergencia a un elemento de $\ell^1$, porque implica la convergencia $\lVert\cdot\rVert$ convergencia coordinate-sabio, y no es el único candidato en $\ell^1$.