¿están bien definidas "todas las redes en $X$"?

Question

Denotar $f:X\to Y$ como una función entre espacios topológicos $X$$Y$. Una buena forma para determinar si $f$ es continua es la comprobación de la siguiente instrucción.

$f$ es continua si para cada convergentes neto $(x_\alpha)_{\alpha \in \Lambda}$$X$, uno ha $\lim_\alpha f(x_\alpha) = f(\lim_\alpha x_\alpha)$.

Sin embargo, "cada convergencia de red", no parece ser un bien definido, ya que el conjunto de índices $\Lambda$, en principio, podría ser cualquier dirigida conjunto con cualquier cardinalidad. Me pregunto lo que uno necesita para darle a esto un significado bien definido. Por lo que he leído, la Wikipedia no dice nada acerca de ella.

Answer 1

(Esta respuesta ecos Michael Greinecker del comentario anterior)

No hay conjunto de todas las redes convergentes en un espacio, pero esto no significa que esta caracterización de la continuidad es defectuoso de cualquier manera real. Ciertamente, se puede reconocer si es o no un objeto es una red convergente en un espacio topológico $X$, y, a continuación, compruebe que la condición se mantiene. Esto se llevaría a cabo en la habitual forma matemática: comience con un arbitrario (y las no especificadas) convergente neto $( x_\alpha )_\alpha$$X$, y por las propiedades de los espacios de $X , Y$ y la función de $f$ mostrar que si $x$ es cualquier punto límite de la red, a continuación, $f(x)$ es un punto límite de la red $( f ( x_\alpha ) )_\alpha$.

Esto no es inusual en las matemáticas. Considerar la característica universal de la libre grupos:

Dado cualquier conjunto $S$, el grupo libre generado por $S$ es el único (hasta el isomorfismo) grupo $F_S$ tener $S$ como un subconjunto tal que para cualquier grupo de $G$ y la asignación de $f : S \to G$ hay un único homomorphism $\varphi : F_S \to G$ tal que $f ( s ) = \varphi ( s )$ todos los $s \in S$.

Aunque ciertamente no hay ningún conjunto de todos los grupos, podemos comprobar que un grupo satisface la universalidad de la propiedad por expropiaciones arbitrarias (y las no especificadas) grupo $G$ y un arbitrario (y las no especificadas) la función $F : S \to G$ y muestran que el grupo homomorphism $\varphi : F_S \to G$ existe y es único.

Answer 2

Observación complementaria ... El primer libro de texto para incorporar el uso de las redes de topología general fue de Topología General por J. L. Kelley. Tiene un apéndice "de Primaria de la Teoría de conjuntos" ... si se examina carefullly podemos ver su uso de clases es más amplio que el NBG la teoría de conjuntos. Posteriormente, ha sido estudiado en su propio Morse-Kelley Teoría de conjuntos:

Morse–Kelley teoría de conjuntos es una extensión adecuada de ZFC. A diferencia de von Neumann–Bernays–Gödel teoría de conjuntos, donde el axioma esquema de Comprensión de los alumnos puede ser reemplazado con un número finito de sus instancias, Morse–Kelley conjunto de la teoría no puede ser finitely axiomatized.

Así, por ejemplo, en Kelley podemos construir la finalización de un espacio uniforme $X$ iniciando: tomar la Clase de todas las redes de Cauchy en $X$, luego la forma de un Cociente por una cierta equivalencia la Relación... [mayúsculas a la Conway]

En cualquier caso se puede volver a hacer el argumento en ZF-estilo. Pero Kelley (supongo) es decir, "¿por Qué molestarse con eso?"